Hallo,
ich habe eine ganz blöde Aufgabe zum rechnen und weiß leider nicht wie sie zu lösen ist. Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen?!
Berechnen Sie alle (unendlich vielen) Nullstellen der komplexen Funktion f1(z)= 3 + 1,5*e(-2z)
Ich würde mich wirklich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Ich komme einfach nicht auf die Lösung!
Liebe Grüße,
Billy
Hallo
Berechnen Sie alle (unendlich vielen) Nullstellen der
komplexen Funktion f1(z)= 3 + 1,5*e(-2z)
Du setzt z ganz allgemein als z=x+i*y an, mit x und y aus R. Einsetzen liefert:
f1(x+i\*y) = 3+1,5\*e^(-2x-2\*i\*y) = 3+1,5\*e^(-2x)\*e^(-2iy)
Nun verwenden wir: e^(i*y) = cos(y)+i*sin(y)
3+1,5\*e^(-2x)\*(cos(2y)-i\*sin(2y))
Nullsetzen und verwenden dass eine komplexe Zahl 0 ist wenn sowohl Real- als auch Imaginärteil 0 sind:
3+1,5\*e^(-2x)\*cos(2y) = 0 (1)
-1,5\*e^(-2x)\*sin(2y) = 0 (2)
Jetzt löse die 2 Gleichungen mit den 2 (reellen) Unbekannten x,y.
Mithilfe von (2) folgern wir (e^(-2x)>0 für alle x):
y = n\*Pi/2 n aus Z (3)
(1) umgeformt lautet:
e^(-2x)\*cos(2y) = -2
Da e^… größer Null für x reell, muss cos(2y)cos(n*Pi) n ungerade
Wir haben somit unendlich viele Lösungen Lösung für y:
y = n\*Pi/2 n ungerade
x bekommen wir aus:
-e^(-2x) = -2
x = -ln(2)/2
Liebe Grüße.
Alex
Hallo,
…alle (unendlich vielen) Nullstellen der
komplexen Funktion f1(z)= 3 + 1,5*e(-2z)
das sollte aber zu schaffen sein.
y = a + i b ⇒ ey = ea + i b = ea ei b = ea (cos b + i sin b) = ea cos b + i ea sin b
3 + 1.5 ey = 0 (y := –2 z ⇔ z = –y/2)
ey = –2
ea cos b + i ea sin b = –2
ea cos b = –2 und ea sin b = 0
ea cos b = –2 und sin b = 0
ea cos b = –2 und b = n π
ea = 2 und cos b = –1 und b = n π
a = ln(2) und b = (2 m + 1) π
y = ln(2) + i (2 m + 1) π
z = –1/2 ln(2) – i (2 m + 1) π/2 mit m ∈ Z
Gruß
Martin
die antworten hören sich ja sehr kompliziert an xD
also ich bin iner 10. gymi und is das nich einfach ne parameterfunktion? wo du dann in dem falle das e einfach wie ne zahl behandelst? naja vill hab ich ja auch falschgetippt…
f(z)=3+1,5e(-2z) bed.: f(z)=0
0=3+1,5e(-2z)
0=3-3ez +3ez
3ez=3 :3e
Z = 3/3e
Z= 1/e
lg franzi
Hallo Alex,
mensch vielen Dank für deine schnelle und hilfreiche Antwort. Hört sich zwar kompliziert an, ist aber eigentlich total logisch.
Ich bin bis zu Real- und Imaginärteil Null setzten gekommen, danach hat es bei mir gehackt!
Danke nochmals!
Liebe Grüße,
Billy
Hallo Martin,
auch dir vielen Dank für deine schnelle und hilfreiche Antwort. Ich muss mich zwar ein bisschen eindenken um mitzukommen, aber scheint durchaus auch logisch zu sein!
Danke!
Liebe Grüße,
Billy
Deine Lösung geht leider nicht, weil ja (-2z) die Potenz der eulerschen Zahl e ist. Und z ist eine komplexe Zahl. Ich kann also nicht einfach e mit -2z multiplizieren.
Es steht ja e^(-2z) da das lässt sich nur in e^-2 * e^z auflösen mit z=x+iy
Ich danke dir trotzdem für die Mühe und den Versuch mir zu helfen!
Liebe Grüße,
Billy
Hallo
die antworten hören sich ja sehr kompliziert an xD
Also komplexe Analysis oder Funktionentheorie ist nun mal kein Fach, welches im Schulstoff durchgenommen wird: http://de.wikipedia.org/wiki/Funktionentheorie. Siehe die vorigen Postings für den Rechenweg und die Lösung.
mfg M.L.
Okay, ich hätte noch eine Aufgabe, die ich gerade gerechnet habe. Es wäre superfreundlich wenn mir jemand von euch sagen könnte ob ich das richtig gerechnet hab.
Also die Aufgabe ist die selbe. Die Funktion heißt diesmal f2(z)=4-8*e^(-4z)
Ich komme für alle y auf y=n*(pi/8) mit n aus Z und für alle x auf x=-(ln 0,5)/4
Ist das korrekt so?
Nochmals oder schonmals Danke und liebe Grüße,
Billy
Guten Abend
f2(z)=4-8*e^(-4z)
Ich komme für alle y auf y=n*(pi/8) mit n aus Z und für alle x
auf x=-(ln 0,5)/4Ist das korrekt so?
Mach einfach die Probe und setz dein Ergebnis ein.
Du wirst dann sehen dass dein y nicht ganz stimmt. Es sollte y=n*Pi/2 mit n aus Z herauskommen.
Nochmals oder schonmals Danke und liebe Grüße,
Herzliche Grüße auch.
Alex
Hallo Alex,
danke nochmals für deine Antwort, hat mich sehr gefreut!
Also ich weiß wirklich nicht wo sich mein Fehler versteckt hat, ich komme immer auf diese 8, egal wie ich es rechne.
Naja vielleicht find ich den Fehler ja doch noch irgendwann!
Danke nochmals und liebe Grüße,
Billy