Hallo,
noch eine Frage hinterher:
Wie lauten die Lösungen der Gleichungen
sin(x)=1/2 und cos(x)=1/2 ?
Danke,
tommyboy
Hier gibt es die wichtigsten Funktionswerte der Winkelfunktionen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus#Wichtige_Funktion…
Sieh Dir auch mal den Kurvenverlauv von Sinus und Cosinus weiter oben an.
Gruß
Torsten
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Danke!
Diese Werte aus der Tabelle muss man also „wissen“ ???
tommyboy
Moin, tommyboy,
Diese Werte aus der Tabelle muss man also „wissen“ ???
jein. Jedes rechtwinklige Dreieck, dessen Gegenkathete zur Hypotenuse im Verhältnis 1:2 steht, hat den sin = 1/2. Bzw Ankathete zu Hypotenuse für den cos. Damit kannst Du das jeweilige Dreieck zeichnen und den Winkel ausmessen.
Wenn kalkuliert werden muss, ist natürlich keiner da, der zeichnet; dafür braucht’s dann die Tabellen oder Taschenrechnerfunktionen.
Gruß Ralf
Hallo,
Diese Werte aus der Tabelle muss man also „wissen“ ???
wenn Du mit trigonometrischen Funktionen zu tun hast, ist es sehr vorteilhaft, die einfachsten Definitionen, Regeln und Zusammenhänge im Kopf zu haben. Dazu zählt zum Beispiel
cos(x) = sin(90° – x) („Cosinus irgendeines Winkels = Sinus des Komplementwinkels“)
und
tan = sin/cos
und
cot = 1/tan
und
sin2 + cos2 = 1
und
die Kenntnis der Periodizitäten: sin und cos sind 2 π-periodisch,
tan und cot sind π-periodisch
Was die „speziellen Funktionswerte“ angeht, reicht es aus, die folgenden drei Zeilen auswendig zu lernen:
sin(30°) = 1/2
sin(45°) = 1/2 √2 ≈ 0.707…
sin(60°) = 1/2 √3 ≈ 0.866…
Die Funktionswerte des Cosinus und Tangens für 30°, 45°, 60° braucht man sich nicht zu merken, weil man sie herleiten kann:
cos(30°) = sin(90° – 30°) = sin(60°) = s. o.
tan(30°) = sin(30°)/cos(30°) = … = 1/3 √3
Außerdem sollte man unbedingt die Graphen der Sinus-, Cosinus-, Tangens- und Cotangensfunktion im Kopf haben, so dass man sie jederzeit schnell auf einen Zettel kritzeln kann.
Als wichtigste weitere Formeln, die des Auswendiglernens wert sind, weil man sie immer wieder mal braucht, würde ich auflisten:
sin(x) cos(x) = 1/2 sin(2 x)
sin2(x) = 1/2 (1 – cos(2 x))
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
sin(arctan(x)) = x/√(1 + x2)
cos(arctan(x)) = 1/√(1 + x2)
und für Fortgeschrittene wären noch unter anderem die Ableitungen und die Anfänge der Potenzreihenentwicklungen hinzufügen:
e i x = cos(x) + i sin(x)
sin’ = cos, cos’ = –sin
(Stammfunktionen von sin und cos damit auch klar)
(arctan(x))’ = 1/(1 + x2)
sin(x) = x – 1/6 x3 + … – …
cos(x) = 1 – 1/2 x2 + … – …
Die Fläche unterhalb der Sinuskurve zwischen dem Ursprung und ihrem
Maximum bei (π/2, 1), beträgt 1:
∫0 … π/2 sin(x) dx = 1
Das wars dann aber auch. Damit kann einen wirklich (fast) nichts mehr erschüttern 
.
Gruß
Martin
Diese Werte aus der Tabelle muss man also „wissen“ ???
Das sind Werte, die in der Praxis und im Unterricht ziemlich oft vorkommen. Ist schon ganz gut wenn man die kennt, aber es gibt ja auch Tafelwerke und Taschenrechner…
Gruß
Torsten
Und wie lang ist eine Sinuskurve?
Hallo Martin,
super aufhzählung! Erlaube mir noch eine Frage, wo ich keinen einfachen Ansatz für finde: Wie lang ist eine Sinuskurve? also z.B. von 0 bis 90°?
Gruß
achim
Hallo Achim,
Wie lang ist eine Sinuskurve? also z. B. von 0 bis 90°?
sie ist (Erklärung der Formel folgt unten) L = ∫0 … 90° √(1 + cos2x) dx lang, blos fehlt es diesem Integranden leider an einer Stammfunktion in geschlossener Darstellung. Der Mathematica-Integrator (*) spuckt dazu √2 E(x, 1/2) aus, worin das E für das elliptische Integral zweiter Ordnung steht.
Die numerische Integration ist natürlich möglich; mein Taschenrechner kommt bei 64 Stützstellen auf L ≈ 1.91.
Die Länge der Kurve einer differenzierbaren Funktion f(x) zwischen a und b ist stets gegeben durch das Integral
L = ∫a…b √(1 + f '2(x)) dx
Warum? Weil man das rechts vom Integralzeichen Stehende wie folgt umformen kann:
√(1 + f '2(x)) dx = √(1 + (df/dx)2) dx = √((dx)2 + (df)2)
Der letzte Ausdruck ist schlicht der Satz des Pythagoras für das entsprechende infinitesimal kleine Steigungsdreieck am Funktionsgraphen. dx und df ist die Länge dessen waagerechter und senkrechter Kathete, √((dx)2 + (df)2) die Länge der Hypothenuse = der infinitesimale Beitrag zur Kurvenlänge.
Gruß
Martin
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