Hey,
wie finde ich die beiden Lösungen für sqrt(3-4i) in der Form a+bi?
ich habe wiefolgt angefangen, komme aber nicht weiter:
sqrt(3-4i) = a+bi
3-4i = a2 - b2 + 2abi
3 = a2 - b2
-4 = 2ab
… doch wie löse ich das? Stehe irgendwie auf dem Schlauch:wink:.
Danke!
Lars
3 = a2 - b2
-4 = 2ab
Hmm, versuchen wir’s mal:
-4=2ab => a = - 2 / b
Einsetzen in die erste Gleichung:
3 = 4 /b2 - b2
=> 3b2 = 4 - b4
=> b4 + 3b2 - 4 =0
Nun führen wir eine neue Variable ein:
z = b2
Damit folgt:
z2 + 3z -4 = 0
PQ-Formel ergibt:
z = 1 oder z = -4
Da z = b2 sein soll, und b eine reelle Zahl darstellen
muss, ist -4 keine relevante Lösung und es folgt:
b = + 1 oder b=-1
Damit folgt für a:
a = - 2 oder a = +2
So, ich denke daß sollten die Lösungen sein 
.
Hoffe ich konnte helfen,
Hendrik
Servus.
Eine Alternative: 3-4i = 5 e^(-0.9272i)
–> (3-4i)^(1/2) = sqrt(5)e^(-0.4636i), sqrt(5)e^(0.6435i)
Und das halt wieder in „a+bi“-Form bringen. Ist immer straight-forward, ohne Nullstellen von Polynomen bestimmen zu müssen und geht vorallem auch bei höheren Wurzeln. Die Lösung ist halt auf Anhieb nich so schön.
mfg.
Servus.
Eine Alternative: 3-4i = 5 e^(-0.9272i)
–> (3-4i)^(1/2) = sqrt(5)e^(-0.4636i), sqrt(5)e^(0.6435i)Und das halt wieder in „a+bi“-Form bringen. Ist immer
straight-forward, ohne Nullstellen von Polynomen bestimmen zu
müssen und geht vorallem auch bei höheren Wurzeln. Die Lösung
ist halt auf Anhieb nich so schön.
Doch, doch. Man muss nur ausnutzen, dass im Falle der Wurzel das vereinfacht werden kann:
Aus
Sqrt(cos§+i*sin§) = (+/-)*[signum(sin§)*Sqrt((1+cos§)/2)+i*Sqrt((1-cos§)/2)]
folgt
Sqrt(x+i*y) = (+/-)*[signum(y)*Sqrt((Sqrt(x²+y²)+x)/2)+i*Sqrt((Sqrt(x²+y²)-x)/2)]
= (+/-)(-2+i)
also 2-i und i-2 sind die Lösungen.
Probe
(-2)²-1² = 3
2*(-2)*1 = -4
Stichwort
Moivre und sin(p/2), cos(p/2)
mfg.