Hallo!
McGee hat es vollkommen richtig erkannt, nur ein bisschen wortkarg erklärt.
bei dem Karten-Gebe-Modell von Karl wird jede Karte mit WKeit
1/4 an einen Spieler verteilt,
für einen Unbedarften wie mich : Wie ist Wkeit definiert ?
Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis aus der Anzahl der "günstigen" Möglichkeiten zur Anzahl aller Möglichkeiten.
so dass die Spieler mit hoher WKeit nicht jeder 10 Karten bekommen,
Wie geht denn das ? Wird dadurch das Abzählen beim Gebevorgang
ausser Kraft gesetzt :-) ?
Was McGee sagen wollte: Wenn jede Karte eine 25%ige Wahrscheinlichkeit hat, bei einem bestimmten Spieler zu landen, dann bedeutet das, dass jeder Karte zufällig ein Spieler zugeordnet wird. Der Erwartungswert für die Kartenzahl eines Spielers ist 10. Das bedeutet, dass jeder Spieler im Mittel 10 Karten erhält. Mancher wird jedoch - nach diesem Verfahren! - mehr oder weniger Karten bekommen.
Das Kartengeben beim Doppelkopf geschieht aber anders: Jeder Spieler erhält genau 10 Karten. Wie wir sehen werden, kann man dann die Wahrscheinlichkeit nicht mehr so berechnen, wie Du das getan hast.
P.S.: Meine Argumentation ist wie folgt :
Gesetzt sei, dass das erste Karo-Ass nicht unter den Tisch
fällt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeiner der
vier Spieler die bekommt 100%, also 1.
Da jeder der vier Spieler die gleiche
Chance/Wahrscheinlichkeit hat, ist die
Einzelwahrscheinlichkeit bei jedem der vier also 1/4.
Soweit ist noch alles richtig.
Die selbe Logik gilt auch, wenn es an das Verteilen des
zweiten Karo-Ass geht.
Nein, das stimmt nicht. Es wird offensichtlich, wenn wir das Problem mal ein bisschen übersichtlicher gestalten: Es gibt nur zwei Spieler und nur vier Karten. Zwei der vier Karten sind Karo Asse. Die Wahrscheinlichkeit, dass das eine Karo Ass bei einem der beiden Spieler landet ist 1/2 (mit der selbsen Argumentation, die Du oben angewendet hast.
Wo liegt das andere Karo Ass? Entweder beim ersten Karo Ass, oder in der anderen Hand. Die Wahrscheinlichkeit, dass es in der anderen Hand liegt, ist aber größer, weil es dort ja noch zwei unbekannte Karten gibt. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für das zweite Karo-Ass genau 1/3, dass es beim ersten landet. Die Wahrscheinlickeit dafür, dass ich beide Karo-Asse bekomme, beträgt also
P = 1/2 * 1/3 = 1/6.
Wenn Du es nicht glaubst: hier mal alle möglichen Verteilungen: Ich nenne die beiden Karo-Asse K und k und die anderen Karten x und y.
ich | Du
---------+----------
Kk | xy
Kk | yx
kK | xy
kK | yx
---------+----------
Kx | ky
Kx | yk
xK | ky
xK | yk
---------+----------
Ky | kx
... | ...
---------+----------
kx | Ky
... | ...
---------+----------
ky | Kx
... | ...
---------+----------
xy | Kk
... | ...
In jedem Kästchen dieser Tabelle stehen einfach die vier möglichen Permutationen zu einer bestimmten Kartenverteilung. In vier von 24 möglichen Fällen habe ich tatsächlich beide Karo-Asse. Das ist genau 1/6.
Bei 40 Karten gibt es so viele Möglichkeiten der Verteilung (rund 10^48), dass ich zu faul bin, alle hinzuschreiben. Das Prinzip bleibt das gleiche.
Dein Denkfehler: Du hast übersehen, dass ein Karo-Ass die Chance vermindert, dass ein zweites Karo-Ass in dieser Hand landet. Jemand, der schon ein Karo-Ass hat, kriegt nämlich nur noch 9 Karten, während alle Spieler, insgesamt 10 Karten bekommen.
Michael
