Hallo,
das Taylorpolynom des Arcustangens ist ja:
arctan x = x - 1/3 x^3 + 1/5 x^5 - 1/7 x^7 + …
Doch wie wird dieses Taylorpolynom hergeleitet?
Eigentlich ja kein Problem, aber die Taylorformel benötigt die n-te Ableitung der Funktion… wie leite ich die n-te Ableitung des Arcustangens her? Wohin verschwindet die Fakultät n! im Nenner?
Ich hoffe hier kann mir jemand helfen…
Vielen Dank im Vorraus,
Philipp
Auch hallo.
Hallo,
das Taylorpolynom des Arcustangens ist ja:arctan x = x - 1/3 x^3 + 1/5 x^5 - 1/7 x^7 + …
Doch wie wird dieses Taylorpolynom hergeleitet?
Tangens = Sinus/Cosinus
ArcusTangens = Umkehrfunktion des Tangens
Von Sinus und Cosinus werden dann die Taylorreihen durcheinander dividiert.
HTH
mfg M.L.
Hallo, erstmal thx für deine schnelle antwort…
Ich habe die Taylorreihen von Sinus und Cosinus dividiert, leider kommt aber etwas anderes raus die Taylorreihe des Tangens…
und selbst wenn ich die Taylorreihe des Tangens habe… wie kann ich aus ihr die Taylorreihe für den Arcustangens herleiten?
mfg, Philipp
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Hallo.
Ich habe die Taylorreihen von Sinus und Cosinus :dividiert,
leider kommt aber etwas anderes raus (*) die :Taylorreihe des
Tangens…
(*) ‚als‘ oder ‚:‘ ?
Jedenfalls dividiert man die Tylorreihe des Sinus durch die des Cosinus
und selbst wenn ich die Taylorreihe des Tangens habe… :wie
kann ich aus ihr die Taylorreihe für den Arcustangens
herleiten?
Alle x der Arcusreihe durch y ersetzen und nach y umstellen
HTH
mfg M.L.
Hallo,
das korrekte Vorgehen ist wirklich, den Arcustangens abzuleiten. Dazu benutzt du die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage…
Du kannst die Ableitung des arctan auf eine Ableitung des tan zurückführen. Und die kannst du mit einfachen Mitteln berechnen.
Grüße,
Moritz
.Cleverer ist natürlich - wie hier genannt - die Cosinus-Sinus-Reihen zu dividieren und dann die Umformung vom Tangens in den arctan durchzuführen.
Die n-te Ableitung bildest Du übrigens durch mehrfaches Ableiten:
1., 2., 3., 4. Ableitung, … soviele Schritt Du *brauchst*, um die Formel verallgemeinern zu können.
Wenn Du jeden Schritt prüfst, und auch dann die n-te Ableitung noch einmal testest (also ob Dein Ausdruck korrekt ist), kann nichts schief gehen.
MfG
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Hi Studing,
Cleverer ist natürlich - wie hier genannt - die
Cosinus-Sinus-Reihen zu dividieren und dann die Umformung vom
Tangens in den arctan durchzuführen.
ist das wirklich so clever? Wenn ich mir das vorstelle: Die Reihen dividieren und dann nach irgendwas auflösen. Das wird doch wahnsinnig kompliziert.
Viele Grüße
Stefan
Es ist zumindest elegant. Bronstein auf - Reihen abschreiben, Bronstein zu – oder gleich aus dem Gedächtnis.
Du brauhcst doch nur ein paar Glieder dafür; 5 Glieder jeder Reihe sollten reichen. Dann flux im Kopf dividieren, hinschreiben, Koeffizientenvergleich und dann in den arctan umformen.
Probieren, nicht vorher schon drüber theoretisieren 
…
Dennoch ist natürlich der rein formale Weg naheliegender, also über die n-te Ableitung. Den arctan abzuleiten, sollte eigentlich nun überhaupt keine Hürde sein.
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Butter bei die Fische!
Du brauhcst doch nur ein paar Glieder dafür; 5 Glieder jeder
Reihe sollten reichen. Dann flux im Kopf dividieren,
hinschreiben, Koeffizientenvergleich und dann in den arctan
umformen.
Also mich würde auch mal interessieren wie man flux eine Reihe durch eine andere dividiert und dann mal einfach so von der resultierenden Reihe die Umkehrfunktion bildet.
Wenn das so wirklich so elegant und einfach ist wie du behauptest, kannst du es doch sicherlich mal vorführen…
Gespannte Grüße
Oliver
Du weißt doch, Ingenieure rechnen nach ihren harten Mathesemestern schneller als die Mathematiker, weil wir ordentlich getrimmt werden.
tan x = sin x / cos x
sin x = x - x^3/6 + …
cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 - … ,
woraus folgt:
(x - x^3/6 + …) / (1 - x^2/2 + x^4/24 - …) = c0 + c1x + c2x^2 + c3x^3 + …
(die Laufzahl bei den c soll einen Index darstellen)
Mit der Nennerreihe multiplizieren (auf die andere Seite schaffen)
x - x^3/6 = (c0 + c1x + c2x^2 + …)*(1 - x^2/2 + x^4/24 - …)
= c0 + c1x + x^2( -1/2 c0 + c2) + x^3(-c1 /2 + c3) + …
Koeffizientenvergleich:
x^0 : 0 = c0
x^1 : 1 = c1
x^2 : 0 = -1/2 c0 + c2 ===> c2 = 0
x^3 : -1/6 = -c1 /2 + c3 ===> c3 = 1/3
tan x = 0 + x + 0 + 1/3x^3 + … usw usw usw.
Das sollte ihm schon erheblich weiterhelfen mit seiner arctan-Reihe.
(Das mit dem Tangens war bei uns Standard-Klausuraufgabe wofür man nur wirklich wenige Minuten Zeit hat. Schließlich hat man (bei uns) Reihenmultiplikation und Reihendivision eine ganze Übungseinheit (90 min.) gehabt bei den Unendlichen Reihen).
MfG
Nachtrag
Ich hab ganz vergessen, daß ohne die Einsetzungen in den Koeffizientenvergleich zu schreiben.
Also tan x = x + 1/3 x^3 + … .
P.S. War auch weiter oben übrigens der Anhänger des formalen Wegs; doch dieses Herumschwelgen mit Reihen und Tricksen ist doch typisch Mathematiker. Und in dem Zusammenhang fällt nunmal oft das Wort elegant. Das war sozusagen Mathematiker-O-Ton; ich müßte auch irgendwo nachschauen, um aus der Tangensreihe den Arcustangens zu kriegen (sofern es überhaupt geht; war ja nicht der Vorschlag von mir, klingt aber machbar irgendwie).
MfG
einfach und elegant??
Hallo
Also tan x = x + 1/3 x^3 + … .
Erstmal Danke für das Vorrechnen!
Allerdings ist das ja auch der Standartweg und den würde ich doch eher als aufwendig bezeichnen. Da du von „flux dividiert“ gesprochen hast, dachte ich, du kennst eine schnellere Methode.
Hmmm, ich frage mich gerade warum man nicht gleich die Reihendarstellung für den Tangens benutzen darf, wenn man schon die des Sinus und Cosinus verwendet…aber egal.
Der springende Punkt ist doch, dass man damit der Reihendarstellung des Arctan kein Stück näher gekommen ist. Ich bezweifele stark, dass man überhaupt aus der Reihendarstellung einer Funktion auf die der Umkehrfunktion schließen kann. Lasse mich aber gern eines besseren belehren.
Jedenfalls ist diese Methode bereits jetzt alles andere als elegant.
Gruß
Oliver
P.S.: ja ich weiß, dass war auch nicht deine Behauptung
Also Moment - Reihendivision empfinde ich nicht als Standardweg.
Standardweg heißt, über die n-te Ableitung zu gehen und die TAYLORsche Formel zu benutzen (im allgemeinen, mal weg von den hier kursierenden Beispielen). Und mit der TAYLORreihe klappt es so gut wie immer (auch wenn man sich eventuell die Finger wund rechnet).
Mit „flux dividiert“ sprach ich von der Geschwindigkeit, in der ich das einschätze; also nicht das Schema „Ansatz“ - „Man sieht leicht, daß …“ - „Lösung“ [Studenten wissen, wovon ich spreche ].
Wenn man schnell rechnet, geht die Division auch „flux“ .
Ehrlichweise würde ich aber beim arctan sofort den formalen Weg gehen, da man als erste Ableitung 1/(x^2+1) im Kopf hat (oder im Tafelwerk).
Da sieht man schon, daß es schön klappt. Wird nur mit steigenden Ableitungen sehr knackig, sofern man die Ausdrücke nicht vereinfacht.
MfG
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Also Moment - Reihendivision empfinde ich nicht als
Standardweg.
Nein, ich meinte die Art wie du die Reihendivision durchgeführt hast, war der Standartweg.
Standardweg heißt, über die n-te Ableitung zu gehen und die
TAYLORsche Formel zu benutzen
Ja, so hätte ich das auch gemacht.
Und mit der TAYLORreihe klappt
es so gut wie immer
Ein Gegenbeispiel wäre die Taylorentwicklung um den Nullpunkt der Funktion:
exp(-1/x²), falls x 0
f(x) =
0 , x = 0
Mit „flux dividiert“ sprach ich von der Geschwindigkeit, in
der ich das einschätze; also nicht das Schema „Ansatz“ - „Man
sieht leicht, daß …“ - „Lösung“
Komisch, genau das würde ich „flux“ bezeichnen
Wenn man schnell rechnet, geht die Division auch „flux“
Aber wie gesagt, bist du damit der Lösung der eigentlichen Aufgabe (Reihendarstellung des Arctan ) aber auch kein Deut näher gekommen.
Gruß
Oliver
- Schritt: n-te Ableitung berechnen (geht auch für den arctan
mit der Hand schnell)
also ich hab jetzt den arctan 5 mal abgeleitet und es ergibt sich schon n gewisses Muster:
arctan´ x = 1 / (1+x²)
arctan´´ x = -2x /(1+x²)²
arctan´´´ x = (6x²-2) / (1+x²)^3
arctan´´´´ x = (24x-24x^3) / (1+x²)^4
arctan´´´´´ x = (24-240x²+120x^4) / (1+x)^5
(ich hoffe das stimmt so, bitte korrigiert mich wenn was falsch ist)
also der Nenner is ja klar: (1+x²)^n
und im Zähler gibts ja auch ne gewisse Regelmäßigkeit:
1
-2x
-2+6x²
24x-24x^3
24-240x²+120x^4
irgendwas mit n!*x^(n-1)+ x^(n-3)…
wie pack ich den zähler in ne allgemeine formel?
vielen dank für eure vielen Ratschläge,
mfg philipp
oke, Problem gelöst, mir is grad eingefallen dass man ja nur die Ableitung an der Stelle 0 braucht… das vereinfacht die sache sehr ^^
Auf jeden Fall vielen Dank für eure vielen Ratschläge!
mfg philipp
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oke, Problem gelöst, mir is grad eingefallen dass man ja nur
die Ableitung an der Stelle 0 braucht… das vereinfacht die
sache sehr ^^Auf jeden Fall vielen Dank für eure vielen Ratschläge!
mfg philipp
Warum vereinfacht das die Sache sehr? Ob Du nun als Entwicklungsmittelpunkt dies oder jenes einsetzt, ist erstmal Wurscht. Du siehst dann nur die Qualität der Approximation an Hand eines häßlich schlechten Restgliedes (zu großer Fehler), brauchst also eventuell deutlich mehr Glieder der Reihe. Aber ansonsten …
Trotzdem schön, daß es endlich klick gemacht hat.
In Zukunft die Reihe gleich aus dem Bronstein abschreiben =) …
MfG
Noch mehr Butter bei die Fische!
Hi Studing,
tan x = 0 + x + 0 + 1/3x^3 + … usw usw usw.
Ich bestehe auf dem „usw usw usw.“
Das sollte ihm schon erheblich weiterhelfen mit seiner
arctan-Reihe.
Jetzt fehlt nur noch die Kleinigkeit, dass Du uns allgemein zeigst, wie man einen Polynom n-ten Grades nach x auflöst. Bitte halte Dich nicht mit Polynomen 3-ten oder 4-ten Grades auf, denn diese Formeln kennen eh schon alle, die brennend daran interessiert sind, wie man das für Grad 5 und höher macht.
Viele Grüße
Stefan
P.S.: Wenn Du es schaffst, kriegst Du hier bestimmt jede Menge Sternchen!
Was soll denn dieser Kommentar bitte? Ich wurde höflich von Oliver gebeten, es vorzurechnen und das Polynom dort hat nicht den Grad 3, sondern den Grad n. Du kannst soviele Gleider hinzufügen (die drei Punkte), wie Du brauchst. Mußt nur den Koeffizientenvergleich mit mehr Gliedern ansetzen. Aber was erzähle ich Dir - als Neunmalklug-von-der-Seite-Schwätzer war Dir das natürlich klar.
-.-
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Hallo nochmal,
wie man einen Polynom n-ten Grades nach x auflöst.
Was soll denn dieser Kommentar bitte? Ich wurde höflich von
Oliver gebeten, es vorzurechnen und das Polynom dort hat nicht
den Grad 3, sondern den Grad n. Du kannst soviele Gleider
hinzufügen (die drei Punkte), wie Du brauchst. Mußt nur den
Koeffizientenvergleich mit mehr Gliedern ansetzen.
da hast Du mich offenbar missverstanden. Deine Vorrechnerrei zur Reihendivision habe ich gelesen und habe dabei auch etwas gelernt. Jetzt steht aber noch die Umkehrfunktion aus. Und die bekommt man ja, indem man das Polynom (von Grad n) nach der darin enthaltenen unabhängigen Variablen auflöst.
Viele Grüße
Stefan