Häufigtster Kontext: Der Angestellte bekommt wegen eines wiederholten Fehlverhaltens eine Abmahnung. Er wird abgemahnt.
anmahnen
Diplomatische Form einer Mahnung. „Es ist sicher Ihrer freundlichen Aufmerksamkeit entgangen, dass Sie die Rechnung xyz bei uns noch nicht beglichen haben. Wir würden sie bitten …“
einmahnen
Dito. Eine weniger höfliche Form der Mahnung. Die fehlende Miete z.B. wird eingemahnt.
ermahnen
Häufigster Kontext: Lehrer ermahnt die Kinder zur Aufmerksamkeit. Die Mutter ermahnt das Kind, sein Zimmer aufzuräumen, das Zähneputzen nicht zu vergessen.
gemahnen
Altertümelnde bzw, feierliche Form von „an etwas erinnern“. Wird bestenfalls in feierlichen Ansprachen benutzt. In der Umgangssprache hörte sich das heute „gestelzt“ an. Das Holocaust-Mahnmal gemahnt an den Holocaust. Ein Grabstein gemahnt an den Toten.
vermahnen
synonym zu „verwarnen“. Ein wer-weiss-was-User, wenn er gegen die Netiquette verstößt, wird vom Team vermahnt 
Schönen Gruß
Metapher