Hallo!
Wie rechnet man eigentlich eine Gleichung dritten Grades aus?
z.B: 9x³ + 5x² + 10x - 5 = 0
danke im voraus,
Andrea
Es gibt ab dem 3. Grad keinen generellen Lösungsweg.
Möglichkeiten:
1.)Eine Lösung raten, dann daraus eine Gleichung 2. Grades machen, Mitternachtsformel und fertig. In der Schule gängige Praxis.
2.)Numerische Näherungsverfahren, dann daraus eine Gleichung 2. Grades machen, usw.
3.)PC Programme.
Gruss,
Hi!
1.)Eine Lösung raten, dann daraus eine Gleichung 2. Grades
machen, Mitternachtsformel und fertig. In der Schule gängige
Praxis.
Was ist denn die Mitternachtsformel??
Ich vermute ich kenne sie, nur unter anderem Namen.
Interessiert mich jetzt mal:wink:
Gruß
Cornel
Es gibt ab dem 3. Grad keinen generellen Lösungsweg.
Das ist so nicht richtig, man kann Gleichungen bis zu vierten Grades analytisch lösen. So wurden ja mehr oder weniger die komplexen Zahlen entdeckt. Allerdings ist das ein eher schwieriger Weg.
Wie rechnet man eigentlich eine Gleichung dritten Grades aus?
z.B: 9x³ + 5x² + 10x - 5 = 0
Hallo Andrea,
ich zitier’ mal aus meiner Mathe-Formelsammlung. Leider wieder was komplizierter, aber das war ja gefragt.
Willst du das allgemein wissen? Ja? Ok, dann allgemein! 
Eine kubische Gleichung hat die Form
a x^3 + b x^2 + c x + d = 0 mit a ungleich 0.
Das kann man erstmal (wegen a ungleich 0) auf die folgende äquivalente Form bringen (Division durch a):
x^3 + b/a x^2 + c/a x + d/a = 0
Setzt man b/a =: r, c/a =: s und d/a =: t, so kann man gleich schreiben
x^3 + r x^2 + s x + t = 0
Beispiel: Bei dir wäre a = 9, b = 5, c = 10, d = -5, also r = 5/9, s= 10/9, t=-5/9.
Nun ersetzt man x durch x = y - r/3 und bekommt:
(y - r/3)^3 + r (y - r/3)^2 + s * (y - r/3) + t = 0
(y^3 - 3 * y^2 * r/3 + 3 * y * (r/3)^2 - (r/3)^3)
- r * (y^2 - 2 * y * r/3 + (r/3)^2)
- s * (y - r/3)
- t = 0
y^3 - r * y^2 + 1/3 * y * r^2 - r^3 / 27
- r * y^2 - 2/3 * y * r^2 + r^3 / 9
- s * y - r * s /3
- t = 0
y^3 + (s - 1/3 * r^2) * y + (2/27 * r^3 - r * s / 3 + t) = 0
Oder mit p := s - r^2/3, q := 2/27 * r^3 - r * s / 3 + t
y^3 + p*y +q = 0.
Das ist die sog. reduzierte Gleichung.
Wenn man damit jetzt weitermacht und setzt
D := (p/3)^3 + (q/2)^2
u := (-q/2 + sqrt(D))^(1/3)
v := -p/(3 u),
dann sind die drei Lösungen der Gleichung
y1 = u + v
y2 = - (u + v) / 2 + (u - v) / 2 * i * sqrt(3)
y3 = - (u + v) / 2 - (u - v) / 2 * i * sqrt(3)
Das kann man zurück nach x transformieren (x = y - r/3) und erhält
x1 = u + v - r/3
y2 = - (u + v) / 2 + (u - v) / 2 * i * sqrt(3) - r/3
y3 = - (u + v) / 2 - (u - v) / 2 * i * sqrt(3) - r/3
Was das jetzt für deine Gleichung oben bedeutet? Keine Ahnung, ich bin Mathematiker, das ist mir zu konkret! *gg*
Chris
Die Mitternachtsformel ist die Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen in Normalform.
Gruß
Cali
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Echt?
hab ich in der Schule total gepennt?
Kannst du mir den Lösungsweg skizzieren?
Gruss,
man kann Gleichungen bis zu vierten Grades analytisch lösen
Und zwar mit den Cardanischen Formeln.
Sagen wir mal so:
Es hat über hundert Jahre gedauert, bis man darauf gekommen ist, die Araber, die die Algebra ja quasi erfunden haben, sind daran gescheitert. Dabei kam es eines Tages vor, dass es nötig war, Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen. Der erste, der das meines Wissens nach getan hat war 1545 Cardano „unter Überwindung geistiger Qualen“. Euler hat das dann später etwas lockerer genommen und eingeführt.
Damit will ich sagen, dass das nicht so ganz einfach ist und deswegen meines Wissens nach in der Schule nicht vorkommt.
Ansatz:
Wir haben x³+ax²+bx+c=0
Jetzt kann man den Teil x³+ax² als Teil eines Binoms vom Grad drei auffassen:
x³+ax²=(x+a/3)³-(3*(a/3)²x+(a/3)³)
(Darauf kommst Du, wenn Du (x+a/3)³ ausrechnest)
Damit können wir die erste kubische Gleichung vereinfachen auf
y³+py=q
mit
y=x+a/3
p=b-a²/3
q=-c+(a*b)/3 - 2*a³/27
Soweit so gut. Wenn jetzt p,q größer null ist, dann probieren wir es mit folgender Idee: Wir nehmen an, dass y eine Darstellung y=u+v hat. Eingesetzt ergibt sich:
u³+v³+3uv(u+v) + p*(u+v) = q
Die Gleichung ist nun gelöst, wenn wir es schaffen, dass u³+v³=q und u*v=-p/3 , bzw.
u³v³=-p³/27 ist, das erkennt man, wenn man es einsetzt.
Jetzt bedenken wir den Satz von Vieta:
Für eine quadratische Gleichung
z²+βz+γ=0 gilt
Lösung: z1/2=(-β±√Δ)/2, wobei Δ die Diskriminante β²-4γ bezeichnet.
Nach Vieta gilt nun:
z1+z2=-β
z1*z2=γ
Das ist genau das, was wir haben wollen. Also erfüllen u und v unsere Forderungen, wenn sie die quadratische Gleichung
z²-qz-p³/27=0
erfüllen. Nach der o.g. Lösungsdarstellung ist also
u³=(q+√Δ)/2
v³=(q-√Δ)/2
mit Δ=q²+4p³/27
Da p,q > 0 vorausgesetzt war, ist Δ auch null, wir haben also reelle Lösungen für u und v. Oben eingesetzt in y=u+v ergibt sich die etwas unschöne Identität:
y=u+v=³√(q/2+√(q²/4+p³/27)) + ³√(q/2-√(q²/4+p³/27))
Das kannst Du nun mit x=y-a/3 (nach Definition von y) in eine Lösung der ursprünglichen Gleichung umrechnen.
Wenn nun p und q negativ sind, muss man das (komplexe) Ergebnis, das man erhalten hat noch ein bischen umformen (das ist das mit den geistigen Qualen) und erhält dann, wer hätte das gedacht, eine reelle Lösung.
Es gibt ab dem 3. Grad keinen generellen Lösungsweg.
Möglichkeiten:
1.)Eine Lösung raten, dann daraus eine Gleichung 2. Grades
machen, Mitternachtsformel und fertig. In der Schule gängige
Praxis.
Ich habe mal gelernt dass man im solchen Fall die Polynomdivision
durchführt, d.h. durch raten einer Nullstelle. Ist das vielleicht die Mitternacht.formel ich kenne die auch nicht?
2.)Numerische Näherungsverfahren, dann daraus eine Gleichung
2. Grades machen, usw.
3.)PC Programme.
Gruss,
Ach ja, ich vergaß:
Damit erhalten wir natürlich nur EINE Lösung der Gleichung. Die nächste erhalten wir, indem wir eine Polynomdivision mit der erhaltenen Lösung durchführen, dann haben wir die erste Lösung und das Problem auf eine quadratische Gleichung reduziert, die sich leicht lösen lässt.
~0,38
Achtja, aber, liebe Experten, was für Lösungen hat denn nun Andrea´s Gleichung 9x³ + 5x² + 10x - 5 = 0 konkret?
Wo hat die einglich oier a, bzw. wenn man das nun in die angebotenen Gleichungen einsetzen tut - was kommt da den heraus? Gar keine Gleichung auffindbar, wo wir einfach nur noch einsetzen müssen? Oder „nur“ noch den „kleinen“ Schritt des Rück- und Rück- und Rückeinsetzens?
Zunächst einmal zur Orientierung habe ich die Funktion f(x) = 9x³ + 5x² + 10x - 5 in mein Grafik-programm eingegeben und xo1 = ~0,379 gefunden.
Schonmal ne Polynomdivision, ebenfalls zur Orientierung ergibt ja (jeweils auf eine Stelle gerundet):
(9x³ + 5x² + 10x - 5)/(x-0,379) = 9x^2 + 7,42x + 12,8 9x^3 - 3,4x^2 7,4x^2 + 10x - 5
7,4x^2 - 2,8x
12,8x - 5
12,8x - 4,8
Rest tats. etwa = 0 !!!
Also xo1 =~ 0,379 und Restpolynom 9(x^2 + 0,825x + 1,42)
Weiteres: pqFormel ergibt
xo2,3 = -0,41 ± Wrz[-5/4] = -0,41 ± [i/2]*Wrz[5], also 2 weitere „komplex-konjugierte“ Lösungen.
Sehr grob angenähert:
xo1 = 0,4 und xo2,3 = -0,4 ± 0,1i.
Damit habe ich zunächst eine „grobe Orientierung“, aber um die Rechnerei komme ich nicht herum!
Da von euch bereits ausreichend Formulatur geliefert worden ist, führe ich die Rechnung mit den gegebenen Zahlen und einer einzigen leichten Variante zu Cardano im folgenden von Anfang bis Ende durch:
Dabei ist ja der „trickreiche“ Weg Cardano´s der der Umwandlung der kubischen Gleichung in eine „triquadratische“, die er dann zunächst mit pq als quadratische löst:
9x³ + 5x² + 10x - 5 = 0 also, „normiert“:
x³ + [5/9]x² + [10/9]x - 5/9 = 0
- Cardanoscher Trick: Quadratglied weg:
x³ + [5/9]x² + [10/9]x - 5/9 ist nämlich gleich
(x+5/27)^3 - 5/9 x^2 - 25/243 x - 125/19683 + [5/9]x² + [10/9]x - 5/9 =
(x+5/27)^3 - 25/243 x - 125/19683 + [10/9]x - 5/9 =
(x+5/27)^3 + [10/9 - 25/243]x - 5/9 - 125/19683 =
(x+5/27)^3 + ([270 - 25]/243)x - [10935 + 125]/19683 =
(x+5/27)^3 + [247/243]x - 11060/19683 =
(x+5/27)^3 +247/243-(247*5/243*27+11060/19683)
= gerundet:
(x+5/27)^3 + (x+5/27) - 3/4, das wieder = 0 werden soll.
spätestens jetzt ersetzen („substituieren“) wir x+5/27
und erhalten: z^3 + z - 3/4 = 0 mit z = x+5/27
Nun kommt der zweite Trick von Cardano, in meiner Variante (also bei Vermeidung von v und w!):
Ihr wisst ja: -u+u = 0 (meistens)
0 = z^3 + z - 3/4 = (z-u+u)^3 + z - 3/4 =
(z-u)^3 + 3(z-u)^2*u + 3*(z-u)*u^2 + u^3 + z - 3/4 =
Mit(tel)glieder zusammenfassen:
(z-u)^3 + 3(z-u)*u*(z-u+u) + u^3 + z - 3/4 =
(z-u)^3 + 3(z-u)*u*z + z + u^3 - 3/4.
Und wenn sich nun best. u und z finden ließen, iigitt!!, sodaß 3(z-u)*u*z + z verschwinden täte, was gegeben wäre, wenn 3(z-u)*u = -1, also
(z-u) = -1/3u und auch damit natürloch z = u - 1/3u,
dann tuteten wir in der ebigen Gleichung ersetzen und erhielten nehmlich:
(-1/3u)^3 + u^3 - 3/4 = 0.
Nun die ganze Gleichung mal u^3 ergibt ja, umgeordnet:
u^6 - 3u^3/4 - 1/27 = 0, pq ergibt dann
u^3 = 3/8 ± Wrz[9/64 + 1/27] = 0,375 ± 0,421
also u1 = ~0,93 und u2 = ~-0,36
also z1 = 0,93 - 1/2,79 = ~0,57
und z2 = -0,36 + 1/1,08 = ~0,566
Zurück in die Steinzeit ergibt für x = z - 5/27
x1 = ~0,388 und x2 = 0,381
Sicherlich sind aber die Abweichungen von der
EINEN EINZIGEN Lösung
xo = ~0,38
reine Rundungshelfer!
MEHR ODER WENGER haben wir „Glück gehabt“, daß gleich die reelle Lösung rauskam! Das liegt natürlich an den gegebenen Konstanten und der „Diskrimihiernichnante“
Nun fröhlich polynomgeteilt!
Achja, hammer schaman schon oben.
Merkwürden: ist mir noch nie passiert, dassich sooo schnell über Cardano auffe Lösung kam!!!
Und auchnoch gleich „reell“!!!
Hassu aberaman Glückehabt, Andy!!!
Allerliebste Grrrüße, moinmoin, manni
MEHR ODER WENGER haben wir „Glück gehabt“, daß gleich die
reelle Lösung rauskam! Das liegt natürlich an den gegebenen
Konstanten und der „Diskrimihiernichnante“
Du wirst mit dieser Methode immer die reelle Lösung finden (wenn es denn nur eine ist). Schließlich findest Du eine Nullstelle, führst die Polynomdivision durch und löst die entstehende quadratische Gleichung. Und wenn die eine komplexe Lösung hat, dann taucht die immer paarweise auf, wie Du schon schriebst auch das konjugiert komplexe. Wenn wir also eine kubische Gleichung mit einem Verfahren lösen, das uns nur eine Lösung liefert, muss diese reell sein, da die komplexen nur zu zweit auftauchen. Und die kommen halt aus der quadratischen Gleichung.
Danke!
Till,
danke, ich hab es geistig einigermassen nachvollzogen.
Ich hatte das weder in der Schule, noch im Physikstudium.
Gruss,
Hallo Andrea,
ich würde wie folgt vorgehen:
- Eine Lösung raten.
- Mit dieser Lösung mit Hilfe des „Hornerschemas“ die Ausgangsgleichung auf eine quadratische Gleichung reduzieren.
- Die quadratische Gleichung mit der p-q-Formel oder der Mittnachtformel lösen.
zu 2.) Du kannst die Ausgangsgleichung natürlich auch mit einer Polynomdivision auf die quadratische Gleichung zurückführen. Das ist jedoch umständlicher, kostet mehr Zeit und ist fehlerintensiv. Das Hornerschema ist einfach zu verstehen und noch einfacher anzuwenden.
Wie das Hornerschema funktioniert, kannst du hier sehen:
p-q-Formel dürfte klar sein.
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.
Gruß,
Jules
Hallo!
Wie rechnet man eigentlich eine Gleichung dritten Grades aus?
z.B: 9x³ + 5x² + 10x - 5 = 0
danke im voraus,
Andrea
Nördlich des Weißwurstäquators auch als p-q-Formel bekannt.
Was ist denn die Mitternachtsformel??
Ich vermute ich kenne sie, nur unter anderem Namen.
Interessiert mich jetzt mal:wink:
Hi!
Ah, das sagt mir schon eher etwas.
Aber wie genau kommt man auf den Namen??
Gruß
Cornel
Aber wie genau kommt man auf den Namen??
Die Mitternachtsformel heißt Mitternachtsformel, weil man sie auch noch mitten in der Nacht auswendig können muss. So erklärte mir es einmal ein Schwabe. Mehr kann ich auch nicht sagen.
Gruß,
Jules
Hallo
eine Lösung raten ist natürlich nicht immer leicht. Bei Polynomen in Klausuren ist das meistens möglich, aber wenn ich ein x-beliebiges nehmen, kann das schwierig werden, eine algebraische Zahl zu raten.
Dann sollte man iterative Verfahren wählen (Newton-Verfahren).
eine Lösung raten ist natürlich nicht immer leicht. Bei
Polynomen in Klausuren ist das meistens möglich, aber wenn ich
ein x-beliebiges nehme, kann das schwierig werden, eine
algebraische Zahl zu raten.
Dann sollte man iterative Verfahren wählen (Newton-Verfahren).
Da kann ich dir vollkommen zustimmen. Raten empfiehlt sich natürlich nur bei ganzzahligen und/oder einfachen komplexen Lösungen.
Gruß