In den Zeichnungen oben ist das doch zu sehen 
Auf den Kreisen gibt es ja außer S1 und S2 noch 4 weitere Schnittpunkte T11, T12 und T21, T22 mit den Tangenten.
Ich hab in Geogebra den Punkt A verschiebbar gemacht: interessante Konstellationen für P1, P2 gibt es, wenn A auf diesen Punkten liegt. Sie bilden jeweils rechtwinklige Dreiecke.
Aber einen Beweis, warum [P1, P2] immer einen Durchmesser auf K2 bildet, finde ich auch partout nicht bisher.