Hallo,
(0) „Ein Mann hat zwei Kinder. Eines davon ist ein Sohn. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist das andere auch ein Sohn!“. Hier ist noch
relativ einfach herauszufinden, dass es 1/3 ist.
ja, aber nur wenn man die Frage falsch interpretiert, nämlich als:
(a) Ein Mann hat zwei Kinder. Mindestens eines davon ist ein Junge.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat der Mann zwei Jungs?
Die richtige Antwort auf diese Frage ist pa = die Elementanzahl der Menge {JJ} geteilt durch die Elementanzahl der Menge {JJ, JM, MJ} = 1/3.
Ich würde die Frage (0) so wie sie hier formuliert wurde aber nicht gemäß (a) interpretieren, sondern so:
(b) Ein Mann hat zwei Kinder. Von einem bestimmten der beiden weiß
man, dass es ein Junge ist, kennt aber nicht das Geschlecht des anderen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat der Mann zwei Jungs?
Die richtige Antwort auf diese Frage ist pb = 1/2. Weil das Geschlecht des einen Kindes natürlich nicht die Wahrscheinlichkeit beeinflusst, dass das andere Kind ein Junge ist.
Man ist einfach intuitiv stark geneigt, in das Denkmuster „das eine Kind“ und „das andere Kind“ zu verfallen, und dabei zu übersehen, dass es bei (a) gerade kein „das eine Kind“ und „das andere Kind“ gibt. Das ist der Clou an (a). Das (Schein-)Paradoxon löst sich auf, wenn man erkennt, dass die Prämissen „mindestens eines der Kinder ist ein Junge“ und „ein bestimmtes Kind ist ein Junge“ verschiedene Informationen enthalten.
Es wäre übrigens gar nicht so leicht, tatsächlich an die (a)-Information „mindestens eines der Kinder ist ein Junge“ zu kommen. Man könnte bei einer Zwei-Kinder-Familie zuhause anrufen, und wenn man Glück hat, geht der Vater dran. Bejaht er die Frage „Ist mindestens eines Ihrer Kinder ein Junge?“ hat man die (a)-Information. Sobald jedoch eines der Kinder drangeht und man erkennt an der Stimme, dass es ein Junge ist, hat man Pech, denn in diesem Moment liegt Fall (b) vor.
Dieses Problem wird auch nicht zum ersten Mal hier diskutiert:
/t/geschwisterparadoxon/1775467
Mit freundlichem Gruß
Martin