Hallo,
…die Verfahrensweise der quadrat. Ergänzung und der p-q-Formel erklären?
wie Du sicher weißt, geht es dabei um quadratische Gleichungen. Das sind Gleichungen der Bauart
x2 + p x + q = 0 [
]
worin die Koeffizienten p und q irgendwelche Zahlen sind. Genauer gesagt ist [] eine quadratische Gleichung in Normalform, weil das x2 keinen Koeffizienten hat. Hat es doch mal einen, d. h. man hat eine Gleichung a x2 + b x + c = 0 mit a ≠ 0 vorliegen, kann man daraus stets eine Gleichung in Normalform gewinnen, indem man durch a teilt: p = b/a und q = c/a.
Frage: Welche Lösungsmenge hat []?
Die Antwort lässt sich mit Hilfe eines kleinen Tricks finden. Er besteht darin, auf beiden Seiten von [] den Term (p/2)2 zu addieren, was nichts an der Lösungsmenge ändert. Warum gerade das clever ist, wird sich gleich zeigen.
Schreiben wir es auf:
x2 + p x + q = 0
⇔ x2 + p x + q + (p/2)2 = (p/2)2
Bringen wir noch das q von der linken auf die rechte Seite, sieht die Sache so aus:
⇔ x2 + p x + (p/2)2 = (p/2)2 – q
Und nun offenbart sich der Sinn des Tricks: Wir können jetzt auf die linke Seite die binomische Formel (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 anwenden:
⇔ (x + p/2)2 = (p/2)2 – q
Jetzt auf beiden Seiten die Wurzel ziehen:
⇔ |x + p/2| = √((p/2)2 – q)
⇔ x1,2 + p/2 = ± √((p/2)2 – q)
⇔ x1,2 = –p/2 ± √((p/2)2 – q)
Fertig. Das ist die pq-Formel oder auch Mitternachtsformel. Es ist eine Fertigformel zur Bestimmung der Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung in Normalform.
Der dem Trick zugrundeliegende Term (p/2)2 ist die sogenannte quadratische Ergänzung. Man muss zur Lösung einer konkreten quadratischen Gleichung nicht unbedingt die pq-Formel anwenden, sondern kann stattdessen auch die obigen Schritte zu ihrer Herleitung mit den konkreten Werten für p und q wiederholen. Die Leute, die lieber so vorgehen, sagen also nicht „aha, eine quadratische Gleichung, dafür gibts die pq-Formel…“, sondern „aha, eine quadratische Gleichung, da überlege ich mir die quadratische Ergänzung und addiere sie auf beiden Seiten…“ Bei der letzteren Alternative rechnet man den auf der rechten Seite entstehenden Ausdruck (p/2)2 – q natürlich sofort aus, und wenn das was einfaches ergibt (insbesondere eine Quadratzahl), ist dieser Lösungsweg angenehmer als die „häßliche“ pq-Formel.
Der Ausdruck (p/2)2 – q, aus dem in der pq-Formel die Wurzel gezogen wird, heißt Diskriminante. Sie kann offensichtlich > 0 oder = 0 oder 0, dann hat [] genau zwei reelle Lösungen; für D = 0 hat [] genau eine reelle Lösung (sie ist dann zweifache Nullstelle von x2 + p x + q), und für D