Die Reihe unten hat ein erstes Teilstück aber kein letztes.
Die hier hat ein erstes und ein letztes.
„erstes“ und „letztes“ hängt immer davon ab, wie du zählst. Und da du keine der beiden Reihen so abzählen kannst, dass du zu einem Ende kommst, gibt es bei beiden kein „letztes“ Teilstück. Wie wäre es mit „Randstücken“?
Die Reihe unten verliert sich seitlich im Unendlichen, diese
hier in der Mitte.
Von mir aus…
Aber du könntest den Kuchen auch mithilfe konzentrischer Kreise zerschneiden.
Die Reihe unten ist vergleichbar mit Hilberts Hotel, diese
hier nicht.
Wie denn das? Ich glaube nicht, dass die Hotelzimmer auch immer kleiner werden.
Und wozu war dann diese ganze Diskussion hier gut?
Um herauszufinden, welche Beweise es für meine These gibt, und wo diese noch Schwächen und Fehler hat.
Versuch doch einfach, die Frage zu stellen, so wie du sie jetzt formulieren würdest.
Das wäre eine Blamage. Auch Cantor, Hilbert, Einstein und andere haben ihre Thesen mit Hilfe von anschaulichen Bildern und der Vorwegnahme von Einwänden dargelegt. Ohne hätte man ihnen wohl kaum geglaubt.
Aber es soll ja wohl noch jemand drin wohnen können…
In unserer Welt kann es kein unendlich großes Hotel geben,
also kann auch keiner in einem unendlich großen Hotel wohnen.
Bei deinem Kuchenbeispiel sind alle Stücke halb so groß wie das vorangegangene, oder?
Also entspricht das der Reihe \sum\nolimits_{k=1}^\infty\tfrac1{2^k}. Und die ist konvergent, gegen 1, das Hotel ist also nicht unendlich groß. Sieht man auch daran, dass du einen endlich großen Kuchen immer wieder halbiert hast. Und der Kuchen symbolisiert (angeblich) die „Vereinigung“ aller Hotelzimmer.
Wenn du nun sagst, dass der Kuchen dein Vergleich mit dem Hotel ist, dann heißt das, dass du ein endlich großes Hotel hast, in dem sich unendlich viele Zimmer befinden (die dementsprechend auch unendlich klein werden müssen). Das ist - wenn man bis auf Quark-Ebene geht - nicht möglich.
Und wenn du dir eine Welt ausdenkst, in der das doch geht, dann kannst du dir für diese Welt auch gleich Unendlich als 1 definieren.
Das kann ich dir erst sagen, wenn ich sie fertig formuliert
habe.
Da bin ich ganz ehrlich gespannt.
In der Zwischenzeit hätte ich gerne gewusst, ob es bei den
oben genannten Strecken eine Strecke gibt, die genau in der
Mitte liegt.
Das kommt darauf an, ob du das mittlere Drittel einer Strecke „da lässt“. Aber ich glaube, du „zerschneidest“ die Strecke immer, d.h. der ursprünglich mittlere Meter bleibt nicht enthalten usw.
Mit Intervallen betrachtet/formuliert:
Deine ursprüngliche Strecke ist das Intervall [0,3]. Jetzt definieren wir a_0 als 0 und b_0 als 3.
D.h. [0,3] = [a_0,b_0]
Das sei I_0.
Jetzt definieren wir rekursiv:
I_k := [a_k,b_k] = \left[\frac{2a_{k-1}+b_{k-1}}2,\frac{a_{k-1}+2b_{k-1}}2\right]
Das sind Intervalle, die immer das mittlere Drittel des vorigen Intervalls sind.
Nach der Intervallschachtelung ist 1,5 der einzige Punkt, der in allen Intervallen enthalten ist.
Eine Strecke, die in der Mitte liegt, muss also 1,5 enthalten. Bisher ist das bei allen Intervallen der Fall, aber die Strecken werden ja nicht beibehalten; wir definieren:
S_k := I_K \setminus I_{k+1}
Da I_{k+1} 1,5 enthält, ist dies für S_k nicht der Fall. Und wenn man S_k jetzt noch halbiert, hat man deine Strecken.
Alternative Vorstellung: Du nimmst dir eine Strecke, in der die Mitte bereits fehlt. Also die Intervalle [0,1] und [2,3] vereinigt. Jetzt fügst du in die Mitte zwei Strecken so ein, dass sie an die äußeren Strecken angrenzen und jeweils ein Drittel der Lücke füllen. Hier gibt es natürlich auch keine Strecke, die den Punkt in der Mitte enthält.
