Hallo, wie kann ich eine Gleichung dritten Grades ohne Polynomdivision durch einen der Linearfaktoren der Gleichung, lösen. Gibt es hierfür eine Formel? Wie bei der quadratischen Gleichung die pq- Formel, lässt sich vllt. sogar die pq- formel anwenden?
zu lösen wäre:
x^3 - 3x^2 - 4x + 12
Vielen Dank im Voraus.
Newjocks
tut mit leid du musst die polynomdivision verwenden
auf andere art und weise ginge es nur falls x ausklammern könntest, was in diesem fall nicht möglich ist, da du einen summanden ohne x hast
Für Gleichungen dritten und vierten Grades gibt es die sog. Kardanischen Formeln. Die sind allerdings in der Praxis so rechenaufwändig, dass man solche Probleme eher numerisch löst.
Für Gleichungen höheren Grades ist man dann auf jeden Fall auf numerische Lösungen angewiesen, da gibt’s nämlich keine geschlossenen Formeln mehr.
Hi,
das lösen einer solchen Gleichung ist meineswissens sehr kompliziert.
Es gibt soweit ich weiß eine Lösungsformel mit der du einen Wert für x erhältst.
Eine weitere Methode ist raten oder alles per Computer berechnen.
Tut mir leid, dass ich dir nicht weiter helfen kann, aber das ist alles was ich zu dem Thema weiß.
Mfg
Andi
Hallo, tut mir leid, dass ich erst jetzt antworte, ich war über das Wochenende ohne PC.
Das Standardvorgehen ist leider die Polynomdivision, aber ich habe hier einen sehr guten Link, der das Vorgehen ohne Polynomdivision erklärt.
http://www.montgelas-gymnasium.de/mathe/kubfa/leitku…
Gruß
Peter
Hi,
Ich nehm mal an:
x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0
Also Polynomdivison ist natürlich das Mittel was am sinnvollsten ist, ich kann dir empfehlen das nochmal genauer anzugucken.
Eine Lösungsformel gibt es tatsächlich, nur ist die meines Wissens megakompliziert, du brauchst auf jeden Fall dafür Kenntnisse in komplexen Zahlen.
Ein kleiner Trick:
Du weißt ja, dass man ein Gleichung in Linearfaktoren aufteilen kann, es gilt also:
x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - a) * (x - b) * (x - c)
wobei a,b,c die drei Lösungen der Gleichung sind.
Multipliziert man die rechte Seite aus erhält man:
x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = x^3 - (…)*x^2 + (…)*x - a*b*c
Also ist -a*b*c = 12
Da häufig ganze Zahlen oder einfache Bruchzahlen Lösungen der Gleichung sind, hilft einem Raten hier oft weiter:
In dem Fall:
Die Teiler von 12 sind: 1,2,3,4,6 und 12 selbst.
1 eingesetzt: 1^3 - 3*1^2 - 4*1 + 12 = 6, also ist 1 keine Lösung.
-1 eingesetzt: (-1)^3 - 3*(-1)^2 - 4*(-1) + 12 = 12, also ist -1 keine Lösung.
2 eingesetzt: 2^3 - 3*2^2 - 4*2 + 12 = 0, also ist a = 2.
-2 eingesetzt: … = 0, also ist b = -2
3 eingesetzt: 3^3 - 3*3^3 - 4*3 + 12 = 0, also ist c = 3
Wegen a*b*c = -12 hätte man sich den Test der 3 eigentlich sparen und einfach die Gleichung 2*(-2)*c = -12 lösen können.
Dann wären die Lösungen 2, 3 und -2, ganz ohne Polynomdivision 
Also nochmal in kurz:
Dieses Verfahren liefert natürlich nicht immer eine Lösung, gerade wenn Bruchzahlen als Lösung im Spiel sind ist es schwierig diese zu erraten.
Ich empfehle, wie gesagt, trotzdem die Polynomdivision zu lernen, denn du weißt ja nicht ob in einer Klausur nachher die Lösungen schön ganzzahlig sind oder ob die Aufgabe heißt „Löse … mittels Polynomdivision“
Hoffe ich konnte helfen,
Gruß, Gartenzaun