Hallo zusammen,
ich sitze grade an einer Mathe-Übung und habe mich dabei gefragt, was der Grenzwert von (1/n!)^(1/n) ist. Zur Veranschaulichung habe ich mir das mal Plotten lassen. Jetzt bin ich darüber gestolpert, dass der PC die Funktion ja für alle Werte von x plottet, also auch für z.B. 0.1.
Wie macht der das? Ist 0.1! irgendwie definiert? Und weiß zufällig auch jemand, bei welchem Wert diese Funktion die y-Achse schneidet (ungefähr 1.8)?
Würde mich über eine Antwort freuen
mfg
Frank
Nachtrag 0.1! ?
kurzer Nachtrag: (-2)! gibts auch?!
Hallo,
schon mal bei Wikipedia nachgesehen? http://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion (steht auch unter Fakultät (Mathematik), den Link bekomme ich aber gerade nicht passend)
Ist natürlich nicht ganz korrekt einfach statt der Fakultät ide Gammafunktion zu verwenden, aber das stört die Benutzer von Programmen im Allgemeinen nicht weiter.
Cu Rene
hi,
ich sitze grade an einer Mathe-Übung und habe mich dabei
gefragt, was der Grenzwert von (1/n!)^(1/n) ist.
für n gegen oo ? oder was?
du ziehst damit die n-te wurzel aus 1/n!.
„^(1/n)“ ist eine schreibweise für die n-te wurzel.
Zur Veranschaulichung habe ich mir das mal Plotten lassen. Jetzt
bin ich darüber gestolpert, dass der PC die Funktion ja für
alle Werte von x plottet, also auch für z.B. 0.1.
Wie macht der das? Ist 0.1! irgendwie definiert?
die fortsetzung der faktoriellen auf reelle zahlen macht die gammafunktion. ob und wie die dein PC macht (bzw. die software, die da drauf läuft), weiß ich nicht.
n! ist eigentlich in dieser schreibweise nur für natürliche zahlen und die 0 definiert.
Und weiß
zufällig auch jemand, bei welchem Wert diese Funktion die
y-Achse schneidet (ungefähr 1.8)?
also bei n = 0 ?
das kommt ganz drauf an, wie man die werte 1/n! für n zwischen 0 und 1 definiert. meine tabellenkalkulation macht da ganz einfach 1 draus. und dann konvergiert die n-te wurzel auch gegen 1.
m.
Ich komme auf 0
Hallo
Ich komme auf 0
Lösungsweg:
an=(1/n!)^(1/n)
beide Seite logarithmieren
ln an = - ln (n!)^(1/n)
= - (1/n) ln n!
Benutzen der Stirlingschen Näherung
ln n! = n (ln n - 1) für grosse n
ln an = - (1/n) n (ln n - 1)
Schaffst du den Rest alleine?
Gruss
Ratz
Hossa 
Streng genommen ist die Fakultät nur für ganze Zahlen definiert. Zur Berechnung im Computer werden jedoch Potenzreihen eingesetzt. Eine sehr gut untersuchte Funktion, für die sehr gute Näherungen durch Potenzreihen existieren, ist die Gaußsche Gamma-Funktion:
\Gamma(x):=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t},dt\quad;\quad x>0
Diese Funktion besitzt zwei interessante Eigenschaften:
\Gamma(x+1)=x\cdot\Gamma(x)
\Gamma(1)=1
Daher kann die Gamma-Funktion zur Berechnung von Fakultäten herangezogen werden:
n!=\Gamma(n+1)
Da die Gamma-Funktion für alle reellen x>0 definiert ist, lässt sich somit der Fakultäts-Begriff auf alle positiven reellen Zahlen erweitern.
Zu deiner Grenzwert-Berechnung:
a_n=\left(\frac{1}{n!}\right)^{1/n}
Sicher ist a_n größer als Null. Was uns fehlt, ist eine obere Grenze. Dazu nehmen wir die Stirling-Abschätzung. Für alle n>0 gilt:
n!>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
woraus folgt:
\frac{1}{n!}
Daher gilt für alle n>0:
0
Damit ist der Grenzwert klar.
Viele Grüße