Wenn man den cosinus einer beliebigen reellen Zahl x nimmt, und davon das ergebnis und immer den cosinus vom ergebnis macht dann nähert sich das ergebnis immer der Zahl 0,73908513321516064165531208767387.
Kann man das irgendwie beweisen oder hat die Zahl vielleicht sogar eine gewisse Bedeutung in der Mathematik?
Hallo Johannes,
die cosinus-Funktion liefert immer Werte zwischen -1 und +1 und deine 0,73… dürfte ungefähr der Cosinus von 45° sein.
Gruss
Nils
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Hmmmm, naja das war mir eigentlich schon bewusst, lässt sich das ganze auch irgendwie beweisen, wiso nähert isch der cosinus dann immer den 45°
Hmmmm, naja das war mir eigentlich schon bewusst, lässt sich
das ganze auch irgendwie beweisen, wiso nähert isch der
cosinus dann immer den 45°
Der Winkel ist wohl etwa 42,3465°. Das liegt einfach daran, dass 42,3465° im Bogenmaß den gleichen Wert hat, wie sein Cosinus, nämlich 0,739…
Gruß
Torsten
Moin, Nils,
und deine 0,73… dürfte ungefähr der Cosinus von 45° sein.
aber nur ganz ungefähr: Meine Schulzeit liegt 50 Jahre zurück, damals war das 0,7071068. Für praktische Rechnungen genügte in allen Fällen die 707 
Gruß Ralf
Moin, Johannes,
Wenn man den cosinus einer beliebigen reellen Zahl x nimmt,
und davon das ergebnis und immer den cosinus vom ergebnis
macht dann nähert sich das ergebnis immer der Zahl
0,73908513321516064165531208767387.
das wäre also die Funktion cos(cos(cos(cos(cos(…(x)…)))).
Kann man das irgendwie beweisen
Was beweisen?
oder hat die Zahl vielleicht
sogar eine gewisse Bedeutung in der Mathematik?
Nicht dass ich wüsste. Gebraucht habe ich das noch nie, aber was weiß ich schon…
Gruß Ralf
Banachscher Fixpunktsatz
Hi,
und herzlichen Glückwunsch, Du hast gerade einen Fixpunkt der Kosinus-Funktion gefunden! Dort gilt f(x) = x, wenn hier f(x) die Kosinusfunktion bezeichnet.
Das ganze ist leider nicht so ganz einfach zu verstehen, am ehesten vielleicht, wenn Du Dir grafisch veranschaulichst, was dort passiert. Der Wert wird nämlich quasi eingekesselt. Es handelt sich um den Schnittpunkt des Graphen der betrachteten Funktion mit der 1. Winkelhalbierenden.
Weitere Informationen unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunkt_%28Mathematik%29
http://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktsatz_von_Banach
und im Mathematik-Schülerduden Bd. II, Stichwort Fixpunkt.
HTH,
V.
Wenn man den cosinus einer beliebigen reellen Zahl x nimmt,
und davon das ergebnis und immer den cosinus vom ergebnis
macht dann nähert sich das ergebnis immer der Zahl
0,73908513321516064165531208767387.
Für eine Funktion f(x) kann es x-Werte mit der speziellen Eigenschaft f(x) = x geben. Das ist anschaulich überall dort, wo die erste Winkelhalbierende den Graph der Funktion schneidet. Diese Schnittpunkte nennt man die Fixpunkte der Funktion. Die Bezeichnung kommt daher, weil die Fixpunkt-x-Werte durch Anwendung von f keine Änderung erfahren, sondern „fix bleiben“. Eine Funktion kann keinen, einen oder mehrere (auch unendlich viele) Fixpunkte haben.
Es gibt zwei Arten von Fixpunkten: anziehende und abstoßende. Bei ersteren konvergiert die x-Folge, die durch wiederholte Anwendung der Funktion f, die sogenannte „Fixpunktiteration“ xk + 1 = f(xk) entsteht, gegen den Fixpunkt-x-Wert, im zweiten führt sie davon weg. Zu welcher Sorte ein bestimmter Fixpunkt gehört, hängt von der Steigung von f in seiner Umgebung ab. Ist sie betragsmäßig kleiner[größer] als 1, dann ist es ein anziehender[abstoßender] Fixpunkt.
Nun zu Deinem Fall. Wenn Du Dir mal den Graph der Cosinusfunktion und die erste Winkelhalbierende in ein gemeinsames Koordinatensystem skizzierst, siehst Du, das cos nur einen einzigen Fixpunkt besitzt, nämlich den, den Du ausgerechnet hast. Aber das Besondere hier ist die Tatsache, dass jeder x-Wert unter unendlichfacher Anwendung von cos() bei diesem Fixpunkt endet. Das kann man leicht einsehen: Der Cosinus irgendeines Wertes liegt immer im Intervall [–1, +1], und der Cosinus irgendeines Wertes aus diesem Intervall liegt im Intervall [cos(–1), cos(+1)] = [≈0.5403, 1]. Egal welchen Startwert man wählt, nach den ersten beiden Iterationen ist man also stets in der Nähe des Fixpunktes gelandet. Dass es ein anziehender Fixpunkt ist, ist auch klar, denn die Steigung der Cosinusfunktion ist überall betragsmäßig kleiner als 1. Damit ist der Beweis, nach dem Du gefragt hast, erbracht.
Den x-Wert des Fixpunktes, also die Lösung der Gleichung cos(x) = x, kann man, weil diese Gleichung transzendent ist, nur numerisch berechnen. Das hast Du ja schon gemacht. Man kann jedoch auch eine Abschätzung dafür gewinnen, indem man cos(x) durch seine Taylorentwicklung 1 – 1/2 x2 annähert. Die Abweichung im Bereich des Fixpunktes hält sich noch in Grenzen. Die quadratische Gleichung 1 – 1/2 x2 = x, die man damit erhält, ist äquivalent zu x2 + 2 x – 2 = 0, und deren exakte Lösung ergibt sich mit Hilfe der pq-Formel zu √3 – 1 ≈ 0.73205. Das stimmt mit immerhin zwei Nachkommastellen mit dem exakten Wert überein.
Dieser Fixpunkt-x-Wert hat übrigens ausdrücklich weder etwas mit π/4 = 45° ≈ 0.785398 oder dem sin- und cos-Funktionswert davon, nämlich 1/2 √2 ≈ 0.707106 zu tun.
Hier mal zusammengefasst:
Der Graph der cos-Funktion (erstes Bogenstück)…
(1) …schneidet die y-Achse im Punkt
(0 | 1)
(5) …schneidet die x-Achse im Punkt
(π/2 | 0) = (≈1.570796 | 0)
(4) …schneidet den Graphen der sin-Funktion im Punkt
(π/4 | 1/2 √2) = (≈0.785398 | ≈0.707106)
(3) …schneidet die erste Winkelhalbierende im Punkt
(xFix | xFix) = (≈0.739085 | ≈0.739085)
(2) …schneidet den Graphen der tan-Funktion im Punkt
(arcsin(Φ) | √Φ) = (≈0.666239 | ≈0.786151)
Dabei bezeichnet Φ den Goldenen-Schnitt-Wert Φ = (√5 – 1)/2 ≈ 0.618033.
hat die Zahl vielleicht
sogar eine gewisse Bedeutung in der Mathematik?
Mir ist keine Bedeutung bekannt.
Gruß
Martin
Iterationen, Attraktoren und Chaostheorie
Hi,
zusätzlich zu den Fixpunkt Erklärungen von Martin und Vladimir:
Den Vorgang, den du gemacht hast, nennt man Iteration (ggf. auch Rekursion):
Rf(x): xn+1 → cos(xn)
Und der Fixpunkt, auf den dieser Prozess zuläuft, heißt auch „Attraktor“.
Wenn du deine Iteration in einer Variante schreibst:
Rf(x): xn+1 → r *cos(xn)
dann heißt das, du hast für „r“ hier den Wert r=1.0 gewählt.
Wenn du nun diese „r“ variierst, wirst du eine Überraschung erleben:
Probier es einmal aus für
- r=1,5
- r=1,9
Für Fall 1. wirst du sehen, daß zu ZWEI Fixpunkte erhältst, die bei fortlaufender Iteration einander abwechseln: Du hast dann einen 2-zyklischen Attraktor.
Für Fall 2. wirst du sehen, daß zu VIER Fixpunkte erhältst, die bei fortlaufender Iteration einander abwechseln: Du hast dann einen 4-zyklischen Attraktor.
Für alle Werte r1 hast du einen 1-Zyklus
Für r12 einen 2-Zyklus
Für r23 einen 4-Zyklus
usw. usw.
Bei wachsendem r nimmt das Verhalten der n-zyklischen Attraktoren abenteuerliche Eigenschaften an und du bist mitten in elementaren Erscheinungen der sog. mathematischen „Chaos-Theorie“.
Wenn du das jeweils gewählte r aufträgst gegen die Resultate von xn+1 nach einer festen Anzahl n von Iterationen, bekommst du das sogenannte Feigenbaum-Diagramm. Ein Bild davon findest du z.B. auf dieser Seite (das untere):
http://haftendorn.uni-lueneburg.de/fraktale/rekursio…
Gruß
Metapher