Nachdem ich nun endgültig überzeugt wurde, dass 0^0 nicht gleich eins ist, hier (noch) eine Frage zum Thema „strebt gegen aber erreicht nie“:
Warum ist 0,9999… (=Nullkommaneunperiode) gleich Eins?
Immerhin ist ja z.B. der Limes einer Funktion, der diese Zahl beschreibt gleich Eins. Es heisst aber immer, dass der Grenzwert nie erreicht würde…
(oder darf ich den periodischen Anteil nicht als Limes einer Funktion schreiben?)
Ähnlich:
0,499999… = 0,5
0,319999… = 0,32
uswusf.
Wolfgang
Warum ist 0,9999…
(=Nullkommaneunperiode) gleich Eins?
Immerhin ist ja z.B. der Limes einer
Funktion, der diese Zahl beschreibt gleich
Eins. Es heisst aber immer, dass der
Grenzwert nie erreicht würde…
(oder darf ich den periodischen Anteil
nicht als Limes einer Funktion
schreiben?)Ähnlich:
0,499999… = 0,5
0,319999… = 0,32
uswusf.Wolfgang
Ich finde das auch schwachwsinnig, aber du kannst es ja auch als 9*0,11111… schreiben. 0,11111… ist 1/9 (ausrechnen) mal 9 sind 9/9=1
Eine ähnliche Aufgabe hatte ich mal in der 6. Klasse. Nur im 2er-System: (0,111…)2 Da sollte auch 1 rauskommen 
mfg
Robin Koch
Dass man es auf diese Weise rechnen kann, ist mir schon geläufig. Nur bei der Schreibweise als Limes habe ich den Eindruck, dass sich das nicht verträgt.
W.
Ich finde das auch schwachwsinnig, aber du
kannst es ja auch als 9*0,11111…
schreiben. 0,11111… ist 1/9 (ausrechnen)
mal 9 sind 9/9=1
Eine ähnliche Aufgabe hatte ich mal in der
6. Klasse. Nur im 2er-System: (0,111…)2
Da sollte auch 1 rauskommenmfg
Robin Koch
VERGESST ES - ist weiter unten schon…notext
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Hy
Ich weiß Logik hat nicht unmittelbar etwas mit Mathe zu tun.
Aber da ich kein Mathematiker bin hier meine platte Antwort:
Wenn man davon ausgeht das Du 1 durch drei teilen wilst bekommst Du in unserer beschrränkten Math. die Antwort:
0,33333… (hier liegt meiner Meinung nach der Fehler)
wenn Du jetzt einfach wieder zurückrechnest und dieses Ergebniss 3mal addierst bekommst Du die besagte 0,9999… was aber siehe erste Rechnung =1 sein soll.
Jacob
Hi
Der Trick, warum 0.99… gleich eins ist, liegt darin, daß das diese „mathematische Gleichheit“ von zwei Zahlen ist. Und zwar wenn du dir einen beliebigen Abstand zwischen obigen Zahlen vorgibst, wirst du feststellen, daß die Differenz zwischen den beiden doch noch kleiner ist. Deswegen kann man ruhigen Gewissens beide miteinander identifizieren. Genauso funktioniert es schließlich auch beim Grenzwert von meinetwegen 1/x für x gegen unendlich. Eigentlich wird der Grenzwert von Null nie erreicht, aber der Abstand wird dennoch beliebig klein.
Übrigens: Null hoch Null IST eins.
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Übrigens: Null hoch Null IST eins.
0^0 = 0.9999999999999999…
Martin
PS: Ich glaube, die Zankerei um „Null hoch Null gleich Eins“ wird auch NIE aufhören…
PPS: Auch wenn ich mit Dir einer Meinung bin, was den Wert von 0^0 angeht, würde mich doch mal Deine Begründung interessieren.
Also, hier meine Begründung:
ich gucke mir die Funktion x hoch x an und will den Grenzwert für x gegen Null bilden. dazu schreibe ich x hoch x nach den Potenzgesetzen in exp(x * ln(x)) um. Jetzt betrachte ich mir nur den Exponenten und bilde für diesen den Grenzwert für x gegen Null mit Hilfe von L’Hospital. Nach einer Minirechnung kommt als Grenzwert Null heraus, also ist der Grenzwert für x hoch x gegen Null exp(0) was bekanntlich 1 ist.
q.e.d. oder was sagst du?
Sascha
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Hallo Sascha!
Deine Begründung muß ich neidlos als „einfach klasse“ anerkennen. Wie konnte sich dieses „Schätzchen“ bloß meiner Kenntnis so lange entziehen, bzw. warum bin ich nicht längst selbst auf die naheliegende Grenzwert-Bildung lim(x->0)(x^x) gekommen? Teufel, manchmal ist man einfach zu blöd.
Das Ding steht übrigens auch im „Bronstein“ als Beispiel zur Regel von l’Hospital. *schäm*
Vielleicht interessiert es Dich, daß es noch eine ganz andere, l’Hospital-lose Begründung für „0^0 = 1“ gibt. Unter einer bestimmten Voraussetzung kann man nämlich den Wert von 0^0 tatsächlich einfach ausrechnen, und zwar ganz „elementar“.
Der Schlüssel dazu ist der binomische Satz. In seiner „Urform“, d. h. so wie er aus seiner Vollständige-Induktion-Fabrik herauskommt, lautet dieser:
(a+b)^n
= a^n
Kompakter wird das Teil, wenn man alle Summanden bis auf den ersten und den letzten als Sigma-Summe schreibt:
(a+b)^n
= a^n
Wegen der beiden Übrigbleibsel a^n und b^n sieht das natürlich potthäßlich aus. Um auch die in die Sigma-Summe hineinzukriegen, muß man aber nur folgende beiden Forderungen stellen:
Jetzt kann man noch vereinfachen, weil man ja weiß, daß (n über 0) = (n über n) = 1, und erhält:
1*. a^n !=! a^n b^0
2*. b^n !=! b^n a^0
wieder jeweils für alle a, b, einschließlich a=0, b=0
Diese beiden Bedingungen sind aber nur dann erfüllbar, wenn
1**. a^0 = 1 für alle a (einschließlich a=0)
2**. b^0 = 1 für alle b (einschließlich b=0)
Der Clou liegt jetzt in den „Einschließlich-Bemerkungen“, den die implizieren gerade unser 0^0=1.
Anders ausgedrückt: Wenn man den binomischen Satz in seiner kompaktesten Form
(a+b)^n = SUM [k=0…n] (n über k) a^(n-k) b^k
auch für a=0 und b=0 gelten läßt (was wohl niemand nicht tun wird), sagt damit automatisch, daß 0^0=1. Wer’s nicht glaubt, möge rechnen: Man setze zunächst (der Einfachheit halber) n=1. Dann geht der binomische Satz über in
a+b = a b^0 + a^0 b
Wenn wir jetzt einmal a und einmal b auf Null setzen, erhalten wir in beiden Fällen das Resultat 0^0=1.
Freue mich über alle Meinungen dazu…
Gruß
Martin
Hallo Martin
Ja, du hast Recht, auch so kommt man zum Ziel! Das ist mir wiederum noch nie aufgefallen. Ich glaube zwar nicht, daß man damit als Beweis durchkäme, aber hier wird auf jeden Fall eindeutig benutzt, daß 0^0 einfach gleich Eins sein muß (denn sonst würde, wie du sehr schön gesehen hast, das Kartenhaus des binomischen Satzes in sich zusammenfallen).
Na ja, damit haben wir wohl endgültig die „0^0 Zankerei“ beendet und die Sieger stehen auch fest .
Also, bis zum nächsten Gefecht…
ciao
Sascha
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Heißes Eisen!?!
Ihr habt fast schon die Schreibe von solchen Leuten drauf, die abseits der ``etablierten’’ Wissenschaft, die sich bei 0^0 unwissend stellt, ihre eigene Lehre schaffen. So ein bißchen wie die Anti-Relativisten oder jene, die nicht abkaufen wollen, daß das Atom weitgehend leer ist, weil das dann ja zusammenfallen müßte.
-)
Die Diskussion läuft ja schon eine ganze Weile.
Aber doch ein kurzer Kommentar:
Statt x^x muß man ja auch a^x oder x^a für reelle a beim Übergang x->0 beobachten dürfen; dabei wählt man dann ``zufällig’’ auch a=0.
Die Stetigkeit der Funktionen x^x, a^x und x^a für alle reellen a an der Stelle x=0 ist widersprüchlich. Man muß daher etwas weniger fordern, i.d.R. verbietet man a=0. Dann sind diese drei Funktionen für alle erlaubten a an der Stelle x=0 stetig, was als kostbarer erscheint.
Die kompakte Schreibung der binomischen Formel geschieht gerade cum grano salis, in Wirklichkeit meint man doch die etwas unschönere Version. Das Problem mit a=0 oder b=0 wird nicht weiter thematisiert.
Nähme man die kompakte Variante für 150%ig, hätte man ja gerade den in 1) beschriebenen Widerspruch.
Gruß
Stefan
Manche mögen’s heiß
Hallo!
Ihr habt fast schon die Schreibe von solchen Leuten drauf, die
abseits der ``etablierten’’ Wissenschaft, die sich bei 0^0 unwissend
stellt, ihre eigene Lehre schaffen. So ein bißchen wie die Anti-
Relativisten oder jene, die nicht abkaufen wollen, daß das Atom
weitgehend leer ist, weil das dann ja zusammenfallen müßte.
: -)
Oh, da hat sich aber jemand mächtig auf die Palme bringen lassen .
Im Ernst: Mein Posting hat offensichtlich einen Anschein erweckt,
den es überhaupt nicht sollte - mehr dazu weiter unten.
Zu Deinem nicht besonders schmeichelhaften Fast-Vergleich mit
„diesen Leuten“ kann ich nur sagen, daß es niemanden gibt, der die
Anti-Relativisten-, Anti-(Kopenhagener-Deutung-der-)Quantentheorie
und Pro-so-einfach-ist-das-alles-„Szene“ mehr verabscheut als ich.
Die Diskussion läuft ja schon eine ganze Weile.
Die bringt’s noch zum Laufzeit-Rekord im Wer-weiß-was…
Aber doch ein kurzer Kommentar:
- Statt x^x muß man ja auch a^x oder x^a für reelle a beim
Übergang x->0
beobachten dürfen; dabei wählt man dann ``zufällig’’ auch a=0.
Die Stetigkeit der Funktionen x^x, a^x und x^a für alle reellen a
an der Stelle x=0 ist widersprüchlich.
Klar, Stetigkeit und Grenzwert sind nicht eindeutig:
lim(x->0) (0^x) = 0, aber lim(x->0) (x^0) = 1.
Packen wir mal alles zusammen in eine einzige Funktion, die von zwei
Variablen abhängt: f(a,r) = a^r wobei a, r reell, >= 0.
Sehen wir uns deren „Werte-Gebirge“ an, so offenbart sich das Übel:
|
| a = 0 0.001 0.01 0.1 1 10
________|____________________________________________________
|
r = 0 | ??? 1 1 1 1 1
|
0.001 | 0 0.993 0.995 0.998 1 1.002
|
0.01 | 0 0.933 0.955 0.977 1 1.023
|
0.1 | 0 0.501 0.631 0.794 1 1.259
|
1 | 0 0.001 0.01 0.1 1 10
|
10 | 0 10^-30 10^-20 10^-10 1 10^10
|
Deutlicher kann man’s nicht sehen: An die Stelle (a=0, r=0) kann
man *keine* Zahl schreiben, so daß das Gebirge dort stetig wird.
Man muß daher etwas weniger fordern, i.d.R. verbietet man a=0.
Dann sind diese drei Funktionen für alle erlaubten a an der Stelle
x=0 stetig, was als kostbarer erscheint.
Ist dieses Argument wirklich stichhaltig? Natürlich kann man die
Stelle (a=0, r=0) einfach aus dem Definitionsbereich des Gebirges
ausklammern, aber ist eine Lücke wirklich besser als eine Unste-
tigkeitsstelle? Wenn Du die Frage bejahst - warum?
- Die kompakte Schreibung der binomischen Formel geschieht
gerade cum grano salis, in Wirklichkeit meint man doch die etwas
unschönere Version. Das Problem mit a=0 oder b=0 wird nicht
weiter thematisiert.
Ist es nötig, das so lax zu handhaben? Ich denke, wer die binomische
Formel in der Kompakt-Notation hinschreibt, hat zwei Möglichkeiten,
und sollte sich für eine davon entscheiden. Entweder er sagt: „Das
Ding gilt für alle a und b außer für a = 0 und b = 0“, oder er sagt
„… einschließlich a = 0 und b = 0, aber wenn auf der rechten Seite
mal 0^0-Ausdrücke auftauchen, dann müssen die tunlichst zu 1 verein-
facht werden“. Und ist die letztere Alternative nicht „schöner“?
Nähme man die kompakte Variante für 150%ig, hätte man ja
gerade den in 1) beschriebenen Widerspruch.
Na, oder man hätte einfach eine etwas „kranke“ Funktion 0^x, die über-
all Null ist, außer bei x = 0, wo sie 1 ist - so what?
Ich hoffe, wir sind uns alle darüber einig, daß man *keinen* Wert von
0^0 *streng beweisen* kann, also so, wie man z. B. beweisen kann, daß
eine Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 3
teilbar ist. Das hat mein vorangehender Beitrag, glaube ich, nicht
rüberkommen lassen - sorry. Wenn’s so einen Beweis gäbe, dann hätten
wir ja hier auch nicht diese long-life-Diskussion!
Also: Die Aussage „Null hoch Null IST Eins“ ist eindeutig too strong.
Andererseits finde ich aber, daß es DOCH legitim ist, beim binomi-
schen Satz aus Gründen der Zweckmäßigkeit zu *fordern*, daß 0^0
gleich Eins ist. Und wenn ich es außerdem noch erstaunlich finde,
daß ich beim Auf-einer-geraden-Linie-Zulaufen auf den (a=0, r=0)-
Punkt im Gebirge immer bei Eins anlange, außer wenn ich von unten auf
der ersten Spalte anreise, dann kann das auch nicht so schlimm sein.
Eine eigene Lehre schaffen - nee, das wäre das letzte!
So, und jetzt kann ich nur noch hoffen, mit diesem viel zu länglichen
Beitrag mehr Probleme vernichtet als erzeugt zu haben.
Gruß
Martin
Hallo, Martin,
es waren wohl nicht genug smileys in meinem posting drin, um Deinen berechtigten Zorn zu dämpfen. Pardonne-moi-z-en!
Ich bin sogar am Nachdenken, ob man bei a^x nicht schon deswegen a=0 verbietet, weil sie nur als e^(x*ln a) definiert ist - so wie ich das mal in Analysis I gelernt habe. Man kommt also gar nicht erst mit Stetigkeitsargumenten, sondern macht das Verbot wegen der Gefahr von ln 0.
Aber gut, wir rechnen ja im wirklichen Leben alle alles doch richtig
Gruß
Stefan
Hallo, Martin,
es waren wohl nicht genug smileys in
meinem posting drin, um Deinen
berechtigten Zorn zu dämpfen.
Pardonne-moi-z-en!
Schon vergeben und vergessen…
Ich bin sogar am Nachdenken, ob man bei
a^x nicht schon deswegen a=0 verbietet,
weil sie nur als e^(x*ln a) definiert ist
- so wie ich das mal in Analysis I
gelernt habe. Man kommt also gar nicht
erst mit Stetigkeitsargumenten, sondern
macht das Verbot wegen der Gefahr von ln
Analysis I - erinnere mich bloß nicht daran… Das war doch diese Vorlesung, wo auch der Sinus diabolicus definiert wurde - eine teuflische Funktion (überall diffbar, aber nirgendwo stetig…) Nimmt übrigens an einigen Stellen den Funktionswert 0^0 an. Da wundert einen natürlich nix mehr.
Aber gut, wir rechnen ja im wirklichen
Leben alle alles doch richtigGruß
Stefan
Ja, und das ist auch gut so, und wir wollen hoffen, daß es für alle Zeiten so bleibt!
Gruß zurück
Martin
Hallo, Martin,
sorry, daß ich mein Maul nicht halte,
aber
eine teuflische Funktion (überall
diffbar, aber nirgendwo stetig…)
eher: überall stetig, aber nirgends diffbar
(jede diffbare Fkt ist automatisch stetig…Analysis I eben! )
dito
Gruß zurück
Martin
dito
Stefan
Hallo Stefan,
das mit dem „Sinus diabolicus“, der überall diffbar, aber nirgendwo stetig ist, war doch nur ein Joke!
Gut, ich sollte Dir vielleicht den „Background“ zu dieser Funktion nicht länger schuldig bleiben. Der Prof, bei dem wir (ich und meine Leidensgefährten) Analysis I genießen durften, war ziemlich abgefahren. Einmal versprach er allen, die bis zum Ende des Semesters in seiner Vorlesung blieben (es waren nicht viele… ), als „besonderen Leckerbissen“ eine Funktion zu spezifizieren, die tatsächlich überall stetig, aber nirgendwo diffbar ist. Darüber haben wir uns so amüsiert, daß daraus der Gag mit dem Sinus (nicht hyper-, sondern…) diabolicus inklusive seiner noch weit abstruseren Eigenschaften entstand.
Ob der Prof sein Versprechen gehalten hat, ist mir noch nicht mal bekannt.
Viele Grüße
Martin
Hallo, Martin,
das mit dem „Sinus diabolicus“, der
überall diffbar, aber nirgendwo stetig
ist, war doch nur ein Joke!
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(*tränenlach*)
[ich glaub, mit Emoticons hab ichs nich so eigentlich]
daraus der Gag mit dem Sinus (nicht
hyper-, sondern…) diabolicus inklusive
seiner noch weit abstruseren
Eigenschaften entstand.
Wundervolle Bezeichnung. Besser jedenfalls als Krankenhausregel.
Ob der Prof sein Versprechen gehalten
hat, ist mir noch nicht mal bekannt.
Notfalls unter Jordan-Kurven kucken.
Gruß
Stefan