Hey Leute!
Ich hab mal eine Frage an euch!
Wie beweise ich das
1/3 n^3 + 1/2 n^2 + 1/6 n = (1^2+2^2+3^2+…+n^2)
ist?
Ich bin in einem Grundkurs Mathe und ich intressiere mich schon dafür welche Formeln ich anwende, doch mein hochgeschätzter Mathelehrer meint das sprengt den Unterricht unseres Grundkurs schließlich sind wir kein Leistungskurs…
Ich kann mir gar nicht vorstellen das die Herleitung so komplex ist.
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen…
Liebe Grüße Nina
Hallo,
1/3 n^3 + 1/2 n^2 + 1/6 n = (1^2+2^2+3^2+…+n^2)
[…]
Ich kann mir gar nicht vorstellen das die Herleitung so
komplex ist.
Es ist nicht so schwer - wenn du vollständige Induktion kannst.
Du musst nur zeigen:
- es gilt für n=1 (einfach einsetzen, nachrechnen, stimmen)
- wenn es für n gilt, gilt es auch für n+1
dazu musst du zeigen dass
1/3 n^3 + 1/2 n^2 + 1/6 n + (n+1)^2
= 1/3 (n+1)^3 + 1/2 (n+1)^2 + 1/6 (n+^)
gilt.
Such mal im Internet ein bisschen nach „Vollständige Induktion“ wenns dich interessiert, dieser Beweis ist ein Standardbeispiel.
Grüße,
Moritz
Vielen Dank ich werd mich mal danach umsehen
Gruß Nina
Hallo, Nina und Moritz, die Herleitung der Formel, bekannter in der Form 1+4+9+16++++n^2 = S{m^2};1,m,n = (n/6)*(n+1)*(2n+1) auf konstruktivem (?) Weg ist auch nicht sooo schwierig.
Der eine (anschauliche) Weg läuft über die Volumenbestimmung einer quadratischen Pyramide mit Höhe und Grundseite n+1 (gesuchte Summe = Gesamtvolumen minus „überstehende“ Ecken und Stäbe), der andere, etwas schwerer anschauliche aber einfachere, über folgenden „Umweg“.
Man schaue sich die Summe „D“ der Differenzen
D = S{(m+1)^3 - m^3};1,m,n (also für m von 1 bios n) an
D = S{(m+1)^3};1,m,n - S{m^3};1,m,n
(ich ja habe die Summe nur in ihre beiden Teile zerlegt)
Die „vordere“ Teilsumme S{(m+1)^3};1,m,n hat 2^3 als ersten Summanden und (n+1)^3 als letzten, die „hintere“ Teilsumme aber 1^3 als ersten und n^3 als letzten.
Beim bilden der gemeinsamen Gesamtsumme D (also der Differenzen) heben sich alle Summanden bis auf das (n+1)^3 und die abzuziehende 1^3 = 1, es bleibt also nur (n+1)^3 - 1.
Löst man nun aber die einzelnen Summanden der Gesamtsumme binomisch auf, so erhält man:
D = S{(m+1)^3 -m^3} =
S{(m^3 + 3m^2 +3m+1 -m^3} =
S{3m^2 +3m+1} =3S{m^2} +3S{m} + S{1}
Die Summen dabei ja immer fü m von 1 bis n.
Nun ist S{1};1,m,n = n und
S{m};1,m,n = (n/2)*(n+1), die Formel die Gauss schon als kleiner Junge gefunden hatte und die auf dem gleichen Wege hergeleitet werden kann (oder einfacher über die Berechung einer Dreiecksfläche, oder ähnlich).
Wenn wir nun die beiden Ergebnisse vergleichen, dann haben wir also:
D = (n+1)^3 - 1 = 3*S{m^2} + 3*S{m} + S{1}, 1,m,n
= 3*S{m^2} + (3n/2)*(n+1) + n also:
n^3 + 3*n^2 + 3n +1-1 = 3*S{m^2} + 3*n^2/2 + 3*n/2 + n
also:
n^3 + 3n^2 + 3n = 3*S{m^2} + 3*n^2/2 + 5*n/2 also
3*S{m^2} = n^3 + 3n^2 + 3n - 3*n^2/2 - 5*n/2 =
= n^3 + 3n^2/2 + n/2, also
S{m^2};1,m,n = n^3/3 + n^2/2 + n/6 wzzw.
Und wenn du nun nach diesem Muster die Summe der „natürlichen Kuben“ bestimmen willst:
Gleiche einfach die S{(m+1)^4 - m^4};1,m,n UF OBIGE „doppelte“ Weise ab!
Pst: Und wenn es einer nicht glaubt:
1+2+3+4++++++n = S{m};1,m,n = (n/2)*(n+1) WARUM???
Weil D = S{(m+1)^2 - m^2} eben auch gleichzeitig gleich
S{(m+1)^2};1,m,n - S{m};1,m,n = (n+1)^2 - 1^2 = n^2 +2n
UND gleich
S{(m+1)^2 -m^2};1,m,n = S{(m^2 + 2m+1-m^2)} = S{2m+1} = 2*S{m};1,m,n + S{1},1,m,n = 2*S{m};1,m,n + n, also ist:
2*S{m};1,m,n = n^2 + 2n - n = n^2 - n, also ist
S{m};1,m,n = n*(n+1)/2 was zu zeigen war.
Es gibt noch ein bekannteres allgemeines Verfahren zur (schrittweisen)Herleitung der Formel für die Summe der kten Potenzen der natürlichen Zahlen von 1 bis n, das mit dem Namen Euler verbunden ist. Dieses nutzt die (unendliche) Potenzreihe von e^m und die sogenannten „Bernouillischen Zahlen“ mit der Methode des „Koeffizientenvergleichs“. Dieser letztere Weg ist weiterführend und macht den Zugang zu den unendlichen Summen der natürlichen Kehrwertpotenzen einfacher.
Also zum Beispiel: S{1/m^2};1,m,oo = pi^2/6, also
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +++++ 1/m^2 +++++ = pi^2/6 = ~1,6
Wenn Du oder irgendjemand noch Fragen hat oder eigene Anregungen, bitte, gerne!
liebe Krüsse, Kurt
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