1/x − 1/( 2 sin(x/2)) stetig diffbar?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
in meinem Matheskript steht, dass diese Funktion F(x) = 1/x − 1/( 2 sin(x/2)) für x ungleich 0 und F(0)=0 stetig diffbar auf [-pi, pi] ist.

Ich hab mit Wolframalpha die Ableitung plotten lassen, aber die ist nicht 0 bei x=0. Also normal auch nicht stetig.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=differenciate&a…](http://www.wolframalpha.com/input/?i=differenciate&a=C.differenciate-*Calculator.dflt-&f2=1%252Fx+%25E2%2588%2592+1%252F%2528+2+sin%2528x%252F2%2529%2529&x=6&y=9&f=Derivative.derivativefunction_1%252Fx+%25E2%2588%2592+1%252F%2528+2+sin%2528x%252F2%2529%2529&a=*FVarOpt.1- -. Derivative.derivativevariable—.*–)

Oder macht hier Wolframalpha nur Rundungsfehler?

#2

Es ist doch egal, ob f(0) = 0 ist.
Die Ableitung von F muss stetig sein, wie die Ableitung aussieht, ist egal.
Wenn man z.B. g(x) = 10 hat, dann ist g auch stetig differenzierbar, obwohl g’(0) = 0 ≠ 10 = g(0).

mfg,
Ché Netzer

#3

Oder rettet man sich, indem man F’(0) einfach gleich dem Wert des weiter unten bei wolframalpha beschreibenen Polynoms setzt, anstatt F’(0)=0 zu setzten?

#4

Ok, aber man müsste doch nachweisen, dass der Funktionengrenzwert für jede Folge x gegen 0 auch gegen den selben Wert geht.

Ist das bei dieser Funktion überhaupt analytisch möglich, denn in der Ableitung steht da was von csc^3(.).
Wie könnte man das mathematisch korrekt zeigen, braucht man dafür Funktionentheorie, also nach spezielle Sätze?

#5

csc(x) = 1/sin(x)
Und damit ist f eine Zusammensetzung aus stetigen Funktionen, also auch stetig.

mfg,
Ché Netzer

#6

Grenzwert von 1/8*sin(x)/((sin(x/2))^3)-1/x^2 x->0

csc(x) = 1/sin(x)
Und damit ist f eine Zusammensetzung aus stetigen Funktionen,
also auch stetig.

Das ist ja richtig, solange x ungleich 0. Denn bei x=0 ist sin(x/2)=0 und das ist nicht definiert.
Man müsste aber noch zeigen, dass es irgendeinen Grenzwert der Funktion gibt, gegen den sie strebt, wenn x gegen 0 geht.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F8*sin%28x%2…

#7

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit&a=*C.limi…](http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit&a=C.limit-_Calculator.dflt-&f2=1%252F8sin%2528x%2529%252F%2528%2528sin%2528x%252F2%2529%2529%5E3%2529-1%252Fx%5E2&x=7&y=7&f=Limit.limitfunction_1%252F8sin%2528x%2529%252F%2528%2528sin%2528x%252F2%2529%2529%5E3%2529-1%252Fx%5E2&f3=0&f=Limit.limit_0&a=FVarOpt.1-_ -. Limit.limitvariable–.**Limit.direction—.*–) ?

mfg,
Ché Netzer

#8

Grenzwert per Hand ausrechnen
Leider zeigt wolframalpha keine Zwischenschritte an.
Ich denke der Grenzwert ist nummerisch ermittelt.

Wenn man das per Hand nachweisen möchte, was hätte man für Möglichkeiten?
Additionstheoreme für cos(x), sin(x), aber wie könnte man das 1/x^2 mit einbinden?

#9

Vielleicht einen gemeinsamen Nenner bilden, dann L’Hospital und dann irgendwie weiterrechnen.

mfg,
Ché Netzer

#10

Mit L’hopital gehts
Also, ich hab die 5. Ableitung von Zähler und Nenner gebildet und drauf geachtet dass von der 0. bis zur 4. Ableitung bei x=0 jeweils Null steht.

Hier sieht man, dass in der 5. Ableitung im Zähler -5 bei x=0 rauskommt:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Calculate+%28d%…

Und hier, dass im Nenner 120 bei x=0 in der 5.Ableitung raus kommt(Man muss unten nochmal auf „mehr Zeit fürs rechnen“ clicken, dann bekommt man angezeig, dass bei bei x=0 ein lok max ist):
http://www.wolframalpha.com/input/?fp=1&i=f%28x%29%3…

Und das ist genau -1/24, was ja als Grenzwert vermutet worden ist, und zwar auch mathematisch exakt.

Weiß jemand, wie man wolframalpha dazu bekommt den Funktionswert zu einem x auszuspucken?

Vielen Dank

#11

Weiß jemand, wie man wolframalpha dazu bekommt den
Funktionswert zu einem x auszuspucken?

Wenn du die Funktion hast, einfach das x durch die entsprechende Zahl ersetzen.
Wenn du die Funktion z.B. nur als Bild erhalten hast, bewege die Maus in die linke untere Ecke des Abschnitts und klick auf „Copyable plaintext“. Dort kannst du dann einsetzen.

mfg,
Ché Netzer