Division ist definiert als Umkehroperation der Multiplikation.
a) wenn ich 5*3=15 habe und die Verdreifachung rückgängig mache 15:3=x, kommt als Ergebnis einfach nur 5 heraus.
b) Nun gibt es aber noch eine andere gängige Sichtweise, nämlich die 15 auf 3 zu verteilen. Die Antwort daraus wäre, jeder der drei bekommt hat 5.
Dies steht für mich aber im direkten Widerspruch zu a. Denn bei a gibt es überhaupt gar kein aufteilen, wohl aber ein rückgängig machen der Multiplikation. Das Ergebnis ist zwar bei a und b 5 aber die Sichtweise ist doch eine gänzlich andere.
Ist jetzt irgendeine Sichtweise falsch? oder sind beide richtig? und warum?
Für mich ist nur Sichtweise a gültig, weil nur sie es exakt genau so rückgängig macht, wie es vorher war, nicht aber Sichtweise b.
Stell dir vor, jeder der Drei hat 5. Die werden zusammengeworfen. Dann sind da 5 + 5 + 5 = 3 * 5 = 15 (n*m kann man - und macht es auch oft so - als m + m + m …+ m mit n Summanden definieren).
So, diese 15 verteilst du dann wieder - jeder bekommt seine 5 zurück. Damit hast du das Zusammenwerfen (Multiplizieren) durch das Verteilen (Dividieren) rückgängig gemacht.
ich bin zwar kein studierter Mathematiker, aber ich versuchs mal in der Hoffnung, daß ich Dich richtig verstanden habe.
Division ist definiert als Umkehroperation der Multiplikation.
Das ist nicht richtig. Die Division ist eine Rechenoperation wie die Multiplikation auch. Jede von beiden ist die Umkehrfunktion der anderen, aber keine der beiden definiert sich aus der anderen.
zu b)
…die 15 auf 3 zu verteilen. Die Antwort daraus wäre, jeder der :drei bekommt hat 5.
Wer ist jeder?
Und wie kommst Du auf das Ergebnis?
Du ver-teilst 15 wasauchimmer auf drei wenauchimmer.
Kürzer: Du ver-teils 15 auf 3 oder mathematisch ausgedrückt Du teilst 15 durch 3 und landest bei 15:3 - siehe a)
Eine zweifache oder unterschiedliche Sichtweise hat sich mir nicht erschlossen, folglich auch kein Widerspruch.
Division ist definiert als Umkehroperation der Multiplikation.
Das ist nicht richtig. Die Division ist eine Rechenoperation
wie die Multiplikation auch. Jede von beiden ist die
Umkehrfunktion der anderen, aber keine der beiden definiert
sich aus der anderen.
Bist Du Dir da sicher?
Folgendes spricht dagegen:
Es fällt schwer, eine Definition der Division anzugeben, die ohne die Multiplikation auskommt. Hast Du einen Vorschlag?
Wenn man zwei ganze Zahlen multipliziert, ist auch das Ergebnis eine ganze Zahl. Für die Division gilt das im Allgemeinen nicht.
Man kann mit 0 multiplizieren, aber nicht durch die Null dividieren.
Die Multiplikation ist kommutativ, die Division nicht. Wenn man die Division als eigenständige Rechenoperation ansieht (wenn man sie also nicht über die Multiplikation mit dem Kehrwert definiert), dann ist die Division nicht kommutativ.
Meiner Meinung nach (aber ich bin auch kein Mathematiker) sind nur die Addition und die Multiplikation axiomatisch definiert, während Subtraktion und Division ihre jeweiligen Umkehrungen sind. Ich glaube mich sogar daran zu erinnern, dass die Subtraktion an der Uni so eingeführt wurde:
Zu jedem x gibt es genau ein y, so dass gilt: x + y = 0. Wir definieren y =: -x.
Und die Division
Zu jedem x gibt es genau ein y, so dass gilt: x * y = 1. Wir definieren y =: x^-1.
Da muss ich direkt mal fragen, warum a richtig ist.
Wie du richtig sagst ist Multiplikation ja nur eine Kurzschreibweise für die Addition.
Also dein Beispiel verstehe ich. Das bin ich in meinem Kopf auch schon mehrmals durchgegangen. Das ist logisch und klar für mich.
Mir erschließt sich jetzt nur nicht, warum das gleichbedeutend ist mit dem a-Beispiel.
Denn bei dem a-beispiel ist aus den 15 ja nur noch eine 5 übrig geblieben (und wenn nur eine fünf übrig bleibt, dann muss es doch falsch sein, dann kann ich doch nicht die 15 auf drei verteilt haben?) während bei dem b-beispiel 3 fünfen übrig bleiben und somit auch wieder 15 ergeben.
dein „Fehler“ besteht einfach nur darin, dass du bei a) alles mathematisch (halbwegs ) ordentlich hinschreibst, bei b) aber nicht.
wenn du das machst, dann siehst du dass es dasselbe ist.
Grüße,
JPL
a) wenn ich 5*3=15 habe und die Verdreifachung rückgängig
mache 15:3=x, kommt als Ergebnis einfach nur 5 heraus.
Nenn das nicht Ergebnis, sondern Quotient, dann wird’s vielleicht klarer.
b) Nun gibt es aber noch eine andere gängige Sichtweise,
nämlich die 15 auf 3 zu verteilen. Die Antwort daraus wäre, jeder der drei bekommt hat 5.
Das ist kein Widerspruch, sondern Dein altes Leiden: Du erfindest Deutungen, denkst sie nicht zu Ende und baust aus diesen Kurzschlüssen Widersprüche auf.
Schau das Ganze mal als Mengenoperationen an: Die Multiplikation fragt, wie viele Kugeln nötig sind, um 3 Haufen à 5 Stück zu legen. Dafür brauchst Du insgesamt 15 Kugeln.
Dreh die Geschichte um, dann hast Du 15 Kugeln auf 3 Plätze zu verteilen. Ergebnis: Auf jeden Platz kommen 5 Kugeln zu liegen. Das ist die Division.
Gruß Ralf
ps: Kann es sein, dass Du ein Buch über die Didaktik der Mathematik schreiben möchtest?
Nein ich mache kein Buch vielleicht sollte ich das vielleicht mal tun. Ich bin einfach nur ein leidgeplagter Student, welcher sich neben seinem Studium, was mit mathe nichts zu tun hat, mit Mathe „herumspielt“. Wie man hier im Board sieht, verbrenne ich mir oft die Finger. Mathematik geht manchmal tagelang nicht aus meinem Schädel heraus.
Dein Beispiel verstehe ich. Wenn aber dein Beispiel stimmt, dann ist eine Denkweise von mir verkehrt. Multiplikation ist dann ein zusammenfügen und die division wieder ein aufteilen dieser zusammenfügungen. Also genau das, was dein Beispiel aussagt.
So, wie ich es vorher (auch) verstanden habe, würde für mich bei deinem Beispiel halt einfach nur 5 herauskommen und das auch nicht durch das gleichmäßige Aufteilen der 15 auf 3, aber dann kann man ja nicht mehr von einer Division reden (wenn ich jetzt richtig verstanden habe), weil Division ja ein ganzes in mehrere Teile zerlegen muss (sofern man nicht durch 1 dividiert).
Mit Verlaub: Mit sehr viel Feingefühl scheinst du ja nicht ausgestattet zu sein.
Desweiteren hast du die Zeichnung nicht verstanden.
Wenn man 15 auf drei verteilt erhält jeder 5 und wenn man diese drei zusammenhangslosen fünfen wieder verdreifacht, so wie in der Zeichnung, kommt man auf 15. Nicht auf 45, weil 5*3=15.
Wenn man 15 auf drei verteilt erhält jeder 5 und wenn man diese drei zusammenhangslosen fünfen wieder verdreifacht, so wie in der Zeichnung, kommt man auf 15. Nicht auf 45, weil 5*3=15.
Das schon. Du hast allerdings 3 Fünfen aufgemalt, und das ist nicht richtig. Wenn du magst, kannst du die Division so interpretieren (das bliebe allerdings wieder auf die natürlichen Zahlen beschränkt…):
Wie viele Äpfel bekommt jeder Einzelne, wenn man 15 Äpfel auf 3 Leute verteilt? Das sind nicht 3 Mengen mit je 5 Äpfeln (denn diese Mengen mal 3 würden 3 Mengen mit je 15 Äpfeln ergeben), sondern jeder Einzelne bekommt schlicht und ergreifend 5 Äpfel.
Achja, nonsense schreibt man mit einem e am ende.
Das trifft leider auch nur im englischen zu; das eingedeutschte Wort Nonsens ist gleichbedeutend und wird tatsächlich ohne e geschrieben.
wie schon mehrfach gesagt wurde, als Umkehroperation zur
Multiplikation.
Dein komisches Diagramm krankt an rein formalen Mängeln.
Du unterscheidest nicht zwischen dem "Aufteilen"
einer Menge (15 Teile = 3 x 5 Teile)
und dem mathematischen Teilen (Division) einer Zahl
15 :3 = 5 aber niemals ist 15:3 = 5+5+5 (so wie du es darstellst).
wer bei jeder Operation erst ein Modell hervorkramen muss, der kommt nicht zum Rechnen. Deshalb sind solche Modelle nur solange brauchbar, bis sich der Mensch an die Operationen gewöhnt hat. Oder wie Prof. Dr. Otto Meltzow zu sagen pflegte: „Herrschaften, Verständnis ist die Gewöhnung an das Unverständliche!“
Modelle taugen nur sehr bedingt dazu, Unverstandenes zu erklären, die Methode stößt sehr schnell an ihre Grenzen. Wenn sich dann noch Fehler bei der Modellbildung einschleichen, dann gute Nacht, Marie.
Ich habe befürchtet aber auch gleichzeitig gehofft, dass diese Antwort kommt. Gehofft, weil es die Vorstellungen sofort von mir hinwegzieht, aber befürchtet, weil ich mich frage, wie man denn dann ohne Interpretation beweisen soll, dass 15/3 wirklich 5 ergibt?
Man fußt die gesamte Argumentation auf die Multiplikation und definiert die Division als Umkehroperation der Multiplikation. Logisch ist dem nichts entgegenzusetzen, dass dann (15/3)*3=15 ergibt.
Empirisch kann man das ohne interpretation anscheinend gar nicht nachvollziehen, sondern nur rein formal logisch. Ich bin jemand der Vorstellungen will. Nunja, ich sollte mich davon verabschieden.
Das trifft gut. In Wirklichkeit will ich auch aus der Modellwelt oder besser gesagt Vorstellungswelt einfach heraus. Sie macht die Dinge komplizierter als sie sind. Dennoch ist es die einzige Möglichkeit sich vorzustellen, was denn bei einer Division geschieht. Es ist ja nicht so, als hätte ich die Divison nicht verstanden…Denke aber ich würde sie erst dann vollständig verstehen durch ein Modell…
Ich bin gespannt, wann ich mich an reinen Gleichungen gewöhnt habe.
Das ist der einzige Ausweg den ich aus meinem Leid sehe.
Ich habe befürchtet aber auch gleichzeitig gehofft, dass diese
Antwort kommt. Gehofft, weil es die Vorstellungen sofort von
mir hinwegzieht, aber befürchtet, weil ich mich frage, wie
man denn dann ohne Interpretation beweisen soll, dass 15/3
wirklich 5 ergibt?
Da gibt es wenig zu interpretierenm weil die Mathematik auf
einigen Axiomen steht und der Rest rein formaler Logik gehörcht.
Empirisch kann man das ohne interpretation anscheinend gar
nicht nachvollziehen, sondern nur rein formal logisch. Ich bin
jemand der Vorstellungen will. Nunja, ich sollte mich davon
verabschieden.
Doch, da gibt es auch Darstellungen, die Kindern auf
Grundschulniveau das problem näher bringt.
Nimm Hölzchen oder nimm gleich große Bauklötzchen.
Daran kannst du Mal nehmen mit 3 und Teilen durch 3
anschaulich darstellen.
Ich habe aber so meine Bedenken, wenn man mit diesen Mitteln
in der höheren Mathematik noch komplexe Zusammenhänge anschaulich
machen will.
Gruß Uwi
es ist vor allem auch deshalb (mathematischer) Nonsens, weil das Gleichheitszeichen nur zwischen wertgleichen Termen gesetzt werden darf. Und das ist in der „Zeichnung“ nicht der Fall.
) ordentlich hinschreibst, bei b) aber nicht.
