Hab hier noch eins… (nachdem das andere souverän gelöst wurde)
Einer meiner Lieblingsprobleme (…mathematischer Art).
**797 \* k = 111...111 \* 10<sup>x</sup>**
Zeige, dass es ein k gibt, welches die Gleichung erfüllt.
k und x sind ganzzahlig.
(111…111 = eine natürliche Zahl aus lauter 1er)
An alle, die nicht knobeln wollen:
Versucht ruhig mit euren PC’s, Äpfeln, Pinguinen und Co das zu lösen.
Nachfrage
Hallo,
sind alle Unbekannten bei dieser Aufgabe existenzquantifiziert ? D.h. lautet die Aufgabe, findet k,n,x so daß
797k = summe010i * 10x
erfüllt ist ? Wenn ja, scheint mir das für alle natürlichen Zahlen und nicht nur für 797 (was eine Primzahl ist) zu gehen.
Gruss
Enno
Zu Erlärung
Hallo,
man betrachtet einfach alle 10er Potenzen modulo einer natürlichen Zahl m (>0). Die Reihe
an=10n mod m
wird nach dem Schubfachprinzip zwangsläufig irgendwann periodisch, da sie nur Werte von 0 bis m-1 annehmen kann. Der Index des Periodenbeginns definiert x+1. Nun bildet man die Summe (modulo m) einer Peroide und bildet (falls 0) den kleinsten gemeinsamen Vielfachen aus m und dieser Summe. Über den ergibt sich die Anzahl der Einsen. Falls die Summe einer Peroide bereits 0 modulo m ergibt, ist die Anzahl der Einsen gerade gleich der Peroidenlänge.
Gruss
Enno
Hallo,
natürlich gilt die Aufgabe für alle n’s, und nicht nur für 797. 
Das Schubfachprinzip anzuwenden ist natürlich völlig richtig, und führt schnell zur Lösung.
Ich siehe die Werte an von {1’111 ,11’111 ,111’111,…} bis ich 798 (oder n+1) Zahlen vor mir habe.
Nun rechne ich jeden Wert mod 797 (oder n).
In der neuen Liste hat es mindestens zweimal den gleichen Rest (Schubfachprinzip)
Nun ziehe ich die ürsprünglichen Werte dieser beiden gleichen Reste voneinander ab.
z.B. 1111…1111 - 11…11 = 11…110…00 = 111…111 * 10x
Diese neue Zahl mod 797 (oder n) ist natürlich folgendessen 0.
Somit ist alles gezeigt. []
das schöne an der Aufgabe ist für mich, dass man eine solche (schöne?) Zahl aus lauter 1er aus jeder Zahl erstellen kann. Etwas, was ich zuerst nicht ganz glaubte.
z.B. 7 * 1’587’300 = 11111100
Hallo,
einen ähnlichen Einfall hatte ich nach posten meiner Frage. Der Vorteil ist, daß die Zahlen einen Tick kleiner bleiben. Ich muß auch sagen, daß mich das Resultat überrascht hat.
Gruss
Enno