2 Aufgaben und 2 Fragen (Parabel und Schnittpunkt)

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,

ich habe ein Problem mit folgenden Aufagen:

Aufgabe 1.
Zeigen Sie, dass für alle a zwei Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel existieren.
ga(x) = 2ax +1 -a
p(x) = x² - 3/2x -5/2

Bei der zweiten Aufgabe konnte ich die Nullstellen finden, weiß aber mit dem Begriff Vielfachheit nichts anzufangen.

Aufgabe 2.
Bestimmen Sie alle Nustellen und deren Vielfachheint von f(x) = (x²-1)² • p(x)

Nullstellen habe ich -1,1 und 2,5 rausbekommen.

Sorry für die Darstellung der Brüche und dem (• p) aber ich habe 10 Minuten nach der Code Erklärung für Darstellungen gesucht aber nichts gefunden.

Dank für eure Antworten vorab

2

moin;

bei Aufgabe 1 musst du lediglich zeigen, dass die Gleichung 2ax+1-a=x²-3x/2-5/2 für alle a 2 Lösungen hat. Beispielsweise über diesen Weg:
x^2-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}=2ax+1-a
x^2-\left(\frac{3}{2}+2a\right)x-\left(\frac{7}{2}-a\right)=0
Die Nullstellen einer Parabel zu berechnen, sollte dich nicht vor unlösbare Probleme stellen :wink:

Mit der Vielfachheit in der Aufgabe 2 ist gemeint, wie häufig die einzelnen Nullstellen auftreten. Ein wenig formaler: Die Funktion p(x) hat die k-fache Nullstelle y, wenn für alle j von 0 bis k-1 gilt:
\frac{p(x)}{(x-y)^j}(y)=0 .
In deinem Beispiel: Das Produkt wird ein Polynom 6. Grades, demzufolge können auch 6 Nullstellen existieren.
Der erste Faktor liefert 4 Nullstellen, nämlich jeweils 2 Mal die -1 und die 1. Der zweite Faktor liefert die beiden restlichen, nämlich 3/4 ± 7/4.
Hast du also 3 Mal die Nullstelle -1, 2 Mal die 1 und ein Mal die 2,5.

mfG

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Hi,

danke für deine Antwort. Hat lange gedauert, bis ich gecheckt habe, dass es sich in deiner ersten Erklärung um eine Normalparabel handelt :stuck_out_tongue:.

Müsste ich in dem Fall nicht noch über die Diskriminante beweisen, dass D>0 und damit eben 2 Nullstellen hat?

Deine zweite Erklärung verstehe ich nicht ganz, vor allem, da ich insgesamt nur 4 Nullstellen rausbekommen.

Würde mich über eine Antwort freuen.

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Hallo Mike!

Müsste ich in dem Fall nicht noch_nur_ über die Diskriminante
beweisen, dass D>0 und damit eben 2 Nullstellen hat?

Das ist der einfachste Weg. Das Vorzeichen der Diskriminante sagt Dir, wie viele Lösungen existieren. Wenn Du also zeigen sollst, das immer zwei Lösungen existieren, brauchst Du nur dieses Vorzeichen zu bestimmen.
Du kannst natürlich genau so gut die beiden Lösungen ausrechnen, wie Dir eben empfohlen wurde. Dann siehst Du ja, ob sie unterschiedlich sind.

Deine zweite Erklärung verstehe ich nicht ganz, vor allem, da
ich insgesamt nur 4 Nullstellen rausbekommen.

Klar. Würdest Du 6 (verschiedene) Nullstellen herausbekommen, dann hätten alle die Vielfachheit 1.

Ich geb Dir mal ein einfaches Beispiel:

f(x)=x²+2x+1 hat nur die Nullstelle x=-1. Wenn Du die p-q-Formel anwendest, steht da nämlich x1/2=-1±0. Im Grunde genommen hast Du also 2 gleiche Lösungen herausbekommen.
Da man in diesem Fall aber schlecht von zwei Lösungen sprechen kann - es ist ja nur eine! -, drückt man dieses Ergebnis eben mit dem Begriff „Vielfachheit“ aus: -1 hat die Vielfachheit 2 / ist eine zweifache (doppelte) Nullstelle.

Noch ein Beispiel: g(x)=x³-x²-x+1 hat z.B. die Nullstelle x1=1 (durch Probieren ermittelt). Nun machst Du Polynomdivision und erhältst g(x)/(x-1)=x²-1. Nun berechnest Du die übrigen Nullstellen und erhältst x2/3=±1.
Jetzt hast Du also wieder x=1 doppelt erhalten - es ist also eine doppelte Nullstelle -, während x=-1 nur einmal als Nullstelle herauskommt (es ist eine einfache Nullstelle).

Polynomdivision gibt übrigens noch einen Hinweis, was die Vielfachheit einer Nullstelle zu bedeuten hat: Nehmen wir zuerst eine „ganz normale“ Funktion h(x)=x²-5x+6 mit den beiden einfachen Nullstellen x1=2 und x2=3. Du kannst die Funktion auch faktorisieren: h(x)=(x-2)*(x-3).
Wenn Du die Funktion in dieser Form gegeben hast, kannst Du die Nullstellen direkt ablesen (es sind die Subtrahenten in den Klammern).

Nun schauen wir uns mal eine Funktion mit einer doppelten Nullstelle an:
f(x)=x²+2x+1=(x+1)²=(x+1)*(x+1).
Wieder liest Du die Nullstelle direkt ab, aber sie taucht hier eben zweimal auf. Ebenso bei g(x)=x³-x²-x+1=(x+1)*(x-1)². Hier siehst Du, dass +1 eine doppelte Nullstelle ist.

Nehmen wir noch k(x)=x³-3x²+3x-1=(x-1)³. Da ist bei 1 'ne dreifache Nullstelle.

Ich hoffe, ich konnte helfen.

Liebe Grüße
Immo

P.S. Vielleicht interessiert Dich noch, wozu man das braucht:
Wenn Du in einer Gleichung, z.B. h(x)=x²-5x+6, einen der Parameter stetig veränderst, z.B. ha(x)=x²-(5+a)*x+6, dann wirst Du sehen, dass sich die Nullstellen beide stetig verändern. Sie wandern einfach näher zusammen oder weiter auseinander, je nachdem, wie Du a einstellst. Wenn a ganz klein ist (z.B. bei x²-5,1x+6), dann sind die Nullstellen noch fast da, wo sie vorher waren.
Machst Du dasselbe nun mit f, also fa(x)=x²+(2+a)x+1, so werden aus der einen Nullstelle plötzlich zwei, auch bei ganz kleinen Werten von a. Und wenn Du’s mit k probierst, so kriegst Du sogar drei Nullstellen.