2 ist ein Teiler von n^2 - n

Wissenschaft Mathematik
1

So, folgende Aufgabe bekamen wir von unseremn Mathelehrer

Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt:
2 ist ein Teiler von n^2 - n

Wie mache ich das richig (bzw. wie schreibe ich es mathematisch richtig auf)? Also meine Gedanken bisher waren:

Alle Zahlen, die 2 als Teiler haben müssen gerade sein.

Wenn n gerade ist, ist es auch n^2. Also ist dann n^2 - n auch gerade.
Wenn n ungerade ist, ist es auch n^2. Also ist dann n^2 - n gerade.
Also ist n^2 - n in jedem Fall gerade (also ist 2 in jedem Fall Teiler).

Sooo… wie schreib ich das jetzt auf? Und wie gehe ich vor, wenn die Aufgabe ist, zu zeigen:
6 ist ein Teiler von n^5 - n

Danke im Voraus für alle Antworten! :smile:

2

Hallo,

ich würde das so formulieren

Sei n gerade, d. h. n = 2k mit k aus der Menge der natürlichen Zahlen

Eingesetzt in die Formel n^2-n

(2k)^2-2k = 4k^2-2k = 2(k^2-k)

=> 2 | 2(k^2-k)

Sei n ungerade, d. h. n = 2k+1 mit k aus der Menge der natürlichen Zahlen

Wieder einsetzen

(2k+1)^2 - (2k + 1) = 4k^2+2k+1 - 2k - 1 = 4k^2 +2k - 2k +1-1 = 4k^2

=> 2|4k^2

Also damit meine ich, zwei teilt 4k^2

So, folgende Aufgabe bekamen wir von unseremn Mathelehrer

Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt:
2 ist ein Teiler von n^2 - n

Wie mache ich das richig (bzw. wie schreibe ich es
mathematisch richtig auf)? Also meine Gedanken bisher waren:

Alle Zahlen, die 2 als Teiler haben müssen gerade sein.

Wenn n gerade ist, ist es auch n^2. Also ist dann n^2 - n
auch gerade.
Wenn n ungerade ist, ist es auch n^2. Also ist dann n^2 - n
gerade.
Also ist n^2 - n in jedem Fall gerade (also ist 2 in jedem
Fall Teiler).

Sooo… wie schreib ich das jetzt auf? Und wie gehe ich vor,
wenn die Aufgabe ist, zu zeigen:
6 ist ein Teiler von n^5 - n

Ich würde das (spontan) analog zu meiner obigen Variante versuchen, also für n dann 2k(+1) einsetzen, je nachdem, ob n (un)gerade

Ob du weißt, wie man (2k+1)^5 berechnet, weiß ich nicht, aber eine andere Variante fällt mir nicht ein (sie muss auch nicht zwingend zum Erfolg führen, ich habe das nicht nachgerechnet)

Danke im Voraus für alle Antworten! :smile:

Viele Grüße
Disap

3

So, folgende Aufgabe bekamen wir von unseremn Mathelehrer

Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt:
2 ist ein Teiler von n^2 - n

Wie mache ich das richig (bzw. wie schreibe ich es
mathematisch richtig auf)? Also meine Gedanken bisher waren:

n^2 - n = n(n - 1)

Für alle natürliche Zahlen gilt entweder n oder (n - 1) ist gerade, also durch 2 teilbar. Da also mindestens einer der Faktoren von n(n - 1) durch 2 teilbar ist, ist auch das Produkt durch 2 teilbar.

Gruß
Werner

4

Hallo,

6 ist ein Teiler von n^5 - n

das kann man leicht durch vollständige Induktion beweisen. „2 ist ein Teiler von n^2 - n“ natürlich ebenfalls.

Gruß
Martin

5

das kann man leicht durch vollständige Induktion beweisen. „2
ist ein Teiler von n^2 - n“ natürlich ebenfalls.

Vollständige Induktion? Was ist das und wie funktioniert es? (Sorry, einfacher Mathe Grundkurs in der Schule. Da macht man sowas vermutlich nicht.)

6

Hallo erstmal

das kann man leicht durch vollständige Induktion beweisen. „2
ist ein Teiler von n^2 - n“ natürlich ebenfalls.

Vollständige Induktion? Was ist das und wie funktioniert es?

http://de.wikipedia.org/wiki/Vollständige_Induktion (man beachte auch das pdf Skript mit Aufgaben und Lösungen)
Für „6 ist Teiler von n^5-n“ in etwa wie folgt:
n=0 : 0^5-0 :6 = 0 stimmt
n=1 : 1^5-1 :6 = 0 stimmt
n=2 : 2^5-2 :6 == (32-2):6 = 30:6 = 5 stimmt (Ganzzahligkeit erfüllt)
Für n+1: (n+1)^5-(n+1) (nur dauert die Rechnerei wg. dem ^5 etwas länger…)

mfg M.L.

7

n^2 - n = n(n - 1)

Für alle natürliche Zahlen gilt entweder n oder (n - 1) ist
gerade, also durch 2 teilbar.

Schöne Lösung. Die gleiche Argumentation funktioniert auch für n^5 - n; dieses Polynom hat unter anderem die Nullstellen 0, 1 und -1, lässt sich also als (n - 1) * n * (n + 1) * … darstellen.

Andreas

8

Hallo

Wenn vollständige Induktion nicht möglich dann:

1 + 2 + 3 + .... n = 1/2 (n^2+n) (Diese Reihe sollte bekannt sein)

Auf beiden Seiten mit 2 Multiplizieren:

2 + 4 + 6 + .... + 2n = n^2+n

bzw.

2 + 4 + 6 + .... + 2n = n^2-n + 2n
  • Die Reihe links ist dur 2 teilbar , klar
  • 2n ist durc 2 teilbar
  • und somit muss auch n^2-n durch 2 teilbar sein.

Gruss

Ratz

So, folgende Aufgabe bekamen wir von unseremn Mathelehrer

Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt:
2 ist ein Teiler von n^2 - n

Wie mache ich das richig (bzw. wie schreibe ich es
mathematisch richtig auf)? Also meine Gedanken bisher waren:

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So,

Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt:
2 ist ein Teiler von n^2 - n

Wie mache ich das richig (bzw. wie schreibe ich es
mathematisch richtig auf)? Also meine Gedanken bisher waren:

Alle Zahlen, die 2 als Teiler haben müssen gerade sein.

Wenn n gerade ist, ist es auch n^2. Also ist dann n^2 - n
auch gerade.
Wenn n ungerade ist, ist es auch n^2. Also ist dann n^2 - n
gerade.
Also ist n^2 - n in jedem Fall gerade (also ist 2 in jedem
Fall Teiler).

Sooo… wie schreib ich das jetzt auf? Und wie gehe ich vor,
wenn die Aufgabe ist, zu zeigen:

Deine Antwort kannst du genau so aufschreiben, einfacher wäre es gewesen, n auszuklammern, dann steht da: n(n-1), das ist das Produkt von zwei aufeinander folgenden Zahlen, das ist gerade, weil entweder die eine oder andere gerade ist.

6 ist ein Teiler von n^5 - n

einfacher ohne vollständige Induktion:
n^5-n=n(n^4-1)=n*(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1). 3.Binomische Formel zweimal anwenden.
(n-1)n(n+1) ist durch 6 teilbar, weil eine der drei aufeinanderfolgenden Zahlen gerade bzw. ein Vielfaches von 3 ist.

HTH
MK

Danke im Voraus für alle Antworten! :smile: