2 Parameteraufgaben

Wissenschaft Mathematik
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Liebe/-r Experte/-in,

eines meiner Mädchen hat - unter der Überschrift „Parameteraufgaben“ folgende Aufgabe nach Hause gebracht:

  1. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat in P (1/4) eine Tangente parallel zur x-Achse und in W (0/2) ihren Wendepunkt.

  2. Für eine zum Ursprung symmetrische ganzrationale Funktion fünften Grades gilt:
    i) Sie hat im Ursprung die Tangente mit der Gleichung y=7*x und in W (1/0) einen Wendepunkt.
    ii) Im Wendepunkt W (-1/1) hat die Tangente die Steigung 3.

Meine eigenen Kenntnisse gehen etwa bis zur 10. Klasse. Dieser Stoff ist jetzt in der 11 aufgetaucht und ich stehe ziemlich auf dem Schlauch.

Für eine etwas genauere Erläuterung wäre ich sehr dankbar.

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Hallo,

ich gehe mal davon aus, dass die Begrifflichkeiten wie Wendepunkt und Tangente klar sind.

Bei solchen Aufgaben schreibt man sich die gesuchte Funktion allgemein auf.
Eine ganzrationale Fkt. 3. Grades sieht allgemein so aus:

ax^3+bx^2+cx+d

Aus den weiteren Informationen müssen die Zahlen a,b,c und d nun bestimmt werden.
z.B. so Tangente parallel zur x-Achse heißt doch, dass f’ dort die Ableitung null hat. Also f’ ausrechnen:
3ax^2+2bx+c
Das soll für x=1 null werden, also
0 = 3a+2b+c

Wendepunkt heißt ja, dass f’’ null ist, dann wissen wir dass f(1) = 4 ist (wegen des Punktes (1/4) usw.

Man „übersetzt“ also die gegebenen Informationen in Gleichungen, wo a,b,c und d auftauchen.
Dann hat man ein Gleichungssystem, welches man dann eben lösen muss, und erhält dann die Werte für a,b,c und d, also weiß man wie die Funktion lautet.

Bei der zweiten Aufgabe z.B. ist der Ansatz
f(x) = ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f

Zum Glück fallen aber ganz viele Potenzen weg, denn eine Funktion die zum Ursprung symmetrisch ist besteht nur aus ungeraden Potenzen, also b=d=f=0.
Den Rest muss dann man wieder durch ein Gleichungssystem lösen.

Das Ganze ist wie man sieht schon etwas umfangreicher, weswegen ich hier nicht die komplette Lösung hinschreiben möchte. Ich hoffe, das hat schon weitergeholfen, bei weiteren Problemen einfach nochmal nachfragen! :wink:

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Parameteraufgaben? Ich kenne es unter Steckbriefaufgaben. Man soll aus Informationen eine Funktion schlussfolgern. Man geht folgendermaßen vor:

Für 1. Aufgabe
Ganzrationale Funktion dritten Grades in ihrer Allgemeinform: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Nun hat man 4 Unbekannte a, b, c und d
Deswegen muss man 4 Informationen aus der Aufgabe herauslesen.
Es steht etwas von Tangente und Wendepunkt, dazu benötigt man noch die allgemeine erste und zweite Ableitung:
f’(x) = 3ax² + 2bx + c
f’’(x) = 6ax + 2b
Nun die vier Informationen in Gleichungen umformen, daraus entsteht ein Lineares Gleichungssystem (LGS)
P(1/4) -> f(x)
I 4 = a + b + c + d
W (0/2) -> f(x)
II 2 = d
Tangente parallel zur x-Achse, bedeutet Anstieg = 0 (ist also Extrempunkt der Funktion) -> f’(x)
III 0 = 3a + 2b + c
Nun noch Wendepunkt an der Stelle x=0 -> f’’(x)
IV 0 = 2b => b = 0

Nun einfaches auflösen
d = 2
b = 0
4 = a + 0 + c + 2 | -2
2 = a + c

0 = 3a + c

2 - a = c = -3a | +a
2 = -2a
a = -1
2 = -1 + c | +1
c = 3
=> f(x) ist also -x³ + 3x + 2
Zur Probe kann man nun wieder erste und zweite Ableitung bilden und schauen ob es stimmt.
f’(x) = -3x² + 3
f’’(x) = -6x
P(1/4) -> f(1) = 4 = -1 + 3 + 2 = 4 stimmt
W(0/2) -> f(0) = 2 = 0 + 0 + 2 = 2 stimmt
x = 1 Extrema -> f’(1) = 0 = -3 + 3 = 0 stimmt
x = 0 Wende -> f’’(0) = 0 = -6*0 = 0 stimmt

ich habe erst vor kurzem ein kleines Programm zu diesem Problem geschrieben (es ist zwar noch ohne Gewähr aber ich schicke hier den Link http://vectorhector.de/mathe/Sekundarstufe%20II/Anal… ) Wenn man alles richtig analysiert hat, ist es eigentlich nur noch eintippen und man siehe da man kommt zum selben Gleichungssystem, lösen sollte man selbst :smile:

Zur 2. Aufgabe (anhand meines Programms erklärt):
5. Grad -> f(x) = ax^5 + bx^4 + cx³ + dx² + ex + f
symmetrisch zum Ursprung bedeutet, punktsymmetrisch zu (0/0) sind also gleich zwei Informationen: es ist eine ungerade Funktion, bedeutet gerade Exponenten fallen heraus für zu f(x) = ax^5 + cx³ + ex + f
da es auch noch durch den Ursprung geht ->
f(0) = 0 = a*0 + c*0 + e*0 + f => f = 0
also f(x) = ax^5 + cx³ + ex
f’(x) = 5ax^4 + 3cx² + e
f’’(x) = 20ax³ + 6cx
ich weiß jetzt nicht ob die i) und ii) zwei verschiedene Funktionen darstellen soll. Denn die Informationen jeder einzelnen reichen, um ein Ergebnis zu bekommen. Deswegen sehe ich sie als zwei verschiedene an.
zu i)
in (0/0) Anstieg von 7 -> f’(0) = 7 = 5a*0 + 3c*0 + e
e = 7
W (1/0) -> f(1) = 0 = a + c + e
Wendepunkt an Stelle x=1 -> f’’(1) = 0 = 20a + 6c
I 0 = a + c + 7 |*6
II 0 = 20a + 6c
da beides 0 =>
I’ 0 = 6a + 6c + 42
beides 0 also
20a + 6c = 6a + 6c + 42 | -6c
20a = 6a + 42 | -6
14a = 42 | :14
a = 3 oben wieder eingesetzt ergibt sich
0 = 60 + 6c | -60
-60 = 6c
c = -10
=> f(x) = 3x^5 - 10x³ + 7x
Probe:
f’(x) = 15x^4 - 30x² + 7
f’’(x) = 60x³ - 60x
in (0/0) Anstieg von 7 -> f’(0) = 7 = 15*0 - 30*0 + 7 = 7 stimmt
W (1/0) -> f(1) = 0 = 3 - 10 + 7 = 0 stimmt
Wendestelle x=1 -> f’’(1) = 0 = 60 - 60 = 0 stimmt

also zu ii)
allgemein ist alles gleich nur drei neue Infos
W(-1/1) -> f(-1) = 1 = -a - c - e
in x=-1 Anstieg 3 -> f’(-1) = 3 = 5a + 3c + e
in x=-1 Wendestelle -> f’’(-1) = 0 = -20a - 6c
da fällt nicht so viel weg aber keine Panik
I 1 = -a - c - e
II 3 = 5a + 3c + e
III 0 = -20a - 6c
in I und II ist e einfach vorhanden also subtrahieren wir die beiden
I - II
-2 = -6a - 4c (wichtig zu einer Variablen umstellen)
-2 + 6a = -4c | : (-4)
c = -1.5a + 0.5
Das setzen wir nun in eine der beiden bereits genutzten Gleichungen ein
zB I
1 = -a + 1.5a - 0.5 - e (das wieder umstellen und zwar so, dass auch hier e alleine steht und a in der Gleichung)
1 + e = 0.5a - 0.5 | -1
e = 0.5a - 1.5
so wie wir nun c und e haben in die verbliebene Gleichung einsetzen! (hier brauchen wir e nicht, aber so ist der generelle Vorgang für andere Aufgaben)
III 0 = -20a + 9a - 3
3 = 11a | :11
a = 3/11
ich weiß nicht ob ich mich jetzt verfranst habe, einfach selbst ausprobieren, ist ja genug vorgerechnet :smiley:
Hoffe war ausführlich genug, und konnte helfen

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Liebe/-r Experte/-in,

eines meiner Mädchen hat - unter der Überschrift
„Parameteraufgaben“ folgende Aufgabe nach Hause gebracht:

  1. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat in P (1/4)
    eine Tangente parallel zur x-Achse und in W (0/2) ihren
    Wendepunkt.

Zu 1.: ganzrat. Fkt. 3.Grades: f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d
mit f’(x)=3*a*x^2+2*b*x+c
und f’’(x)=6*a*x+2*b
P(1/4) —> f(1)=a+b+c+d=4 (1.Gleichung)
Tang. par. zur x-Achse:f’(1)=3*a+2*b+c=0 (2.Gl.)
W(0/2) —> f(0)=d=2 (3.Gl.)
W(0/2) —> f’’(0)=2*b=0 (4.Gl.)
Gleichungssystem (Gl. 1 bis 4) lösen
ergibt f(x)=-1*x^3+3*x+2

Zu 2.i: f(x)=3*x^5-10*x^3+7*x
ii: f(x)=-3/2*x^5+5*x^3-9/2*x

Bem.: Falls noch Fragen zu Aufgabe 2, bitte nochmals melden, hatte nicht ausreichend Zeit;

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Hallo,

zu den einzelnen Aufgabenteilen.

  1. Bei der ganzrationalen Funktion dritten Grades handelt es sich um einen Funktionterm der Form f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d.

Die Funktion hat in P (1/4) eine Tangente parallel zu x-Achse. Daraus folgt:
i) der Punkt (1/4) liegt auf der Funktion, d.h. f(1)=4
ii) im Punkt (1/4) hat die Funktion die gleiche Steigung wie die Tangente, d.h. die erste Ableitung f’ ist an dieser Stelle gleich der Steigung der Tangente. Da die Tangente parallel zur x-Achse verläuft, hat sie die Steigung 0, d.h. f’(1)=0.

Aus dem Wendepunkt W (0/2) folgt:
i) die Funktion nimmt den Punkt (0/2) ein, d.h. f(0)=2
ii) die zweite Ableitung der Funktion ist 0, d.h. f"(0)=0

Damit haben wir vier Bedingungen für vier Unbekannte und können die ganzrationale Funktion dritten Grades eindeutig bestimmen.

  1. Bei der zweiten Aufgabe passt was nicht! Es wird gesagt, dass diese zum Ursprung symmetrisch ist. Im Allgemeinen bedeutet dies, dass die Funktion zum Koordinatenursprung U (0/0) punktsymmetrisch ist, d.h. es gilt f(x)=-f(-x). Damit können aber die beiden Wendepunkte W (1/0) und W (-1/1) nicht auf der selben Funktion liegen! Klärt mich auf, sollte ich bei der Aufgabenstellung was falsch verstanden haben.
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Liegt daran, dass es wie oben erwähnt sicher zwei verschiedene Aufgaben sind :smile:

die drei Angaben reichen ja