Dass Vater eine schriftliche Erklärung abgegeben hat, dass Kind nicht bei ihm wohnen kann, ist schon mal gut. Dies nämlich begründet einen Härtefall, da Eltern im Grundsatz nicht verpflicht werden können - auch nicht aus dem § 22 Abs. 5 SGB II heraus -, ein volljähriges Kind bei sich wohnen zu lassen. Warum das Kind der Wohnung verwiesen wird, ist dabei im Grundsatz irrelevant.
Notfalls sollte die Mutter ebenfalls erklären, dass Kind nicht bei ihr wohnen darf.
Gehen wir also davon aus, dass Kind eigene Wohnung und voller Regelsatz zustehen.
Was macht das Jobcenter bei so jungen Leuten, das die Arbeiten gehen?
Da gibt es Möglichkeiten wie Sand am Meer. Gerne werden Zuweisungen zu irgendwelchen Maßnahmen getätigt.
Hier kann man es als Leistungsbezieher seinem Vermittler etwas schwerer machen, faktisch sinnlose Maßnahmen zu wählen, indem man auf dezidierte schriftliche Begründung besteht: warum diese Maßnahme genau zu diesem Zeitpunkt für genau diese Person …? Man kann auch standardmäßig der Maßnahmezuweisung widersprechen und, falls der Vermittler kein ausfürliches Profiling durchgeführt hat, ihm auch noch eine Fachaufsichtsbeschwerde für das Versäumnis reindrücken, denn ein Profiling ist ELEMENTAR.
Alternativ zu Maßnahmen wird gerne Vermittlung in Jobs versucht. Hier gilt zu beachten: Vermittlung in nicht gewünschte Erstausbildung kollidiert mit der grundgesetzlich garantierten freien Berufswahl. => Widerspruch. Vermittlung in ungelernte Tätigkeit hingegen ist zunächst nicht zu beanstanden.
Widersetzt sich der U25-Jährige, werden Sanktionen erfolgen, zunächst auf den Regelsatz, dann auch auf die Kosten der Unterkunft. Da solche Sanktionen grundrechtliche auf papierenen Füßen stehen, lohnt sich hier IMMER ein Widerspruch, denn - kurz gesagt -, das Existenzminimum ist vom Staat BEDINGUNGSLOS sicherzustellen. Bei Widerspruch Antrag auf vorläufigen/einstweiligen Rechtsschutz nicht vergessen 
Abgesehen davon: wer nicht arbeiten will, wird nicht arbeiten, wenn er es klug anstellt. Maßnahmen zu umgehen, ist einen kleinen Tick komplizierter.