Hallo zusammen
Ich hab folgende Aufgabe mit der ich ein paar Schwierigkeiten hab.
„Bestimmen Sie das Integral über die Vollkugel I_z = III roh*z^2 dV der homogenen Vollkugel bezüglich ihrer Hauptachse.“
Ich hab hier folgendes Problem.
Wenn ich Kugelkoordinanten benutze
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Hallo,
Wenn ich dies benutze komme ich auf ein recht schwieriges Integral
I_z = roh*III [r^3 * cos^2(teta) * sin(teta)]dr d(teta) d(phi)
es sieht vielleicht schwierig aus, ist aber harmlos. cos2(θ) sin(θ) wandelst Du um zu 1/4 (sin(θ) + sin(3θ)). Davon kannst Du mühelos eine Stammfunktion angeben. Jene von r4 (aufpassen, Dein Exponent ist 3, aber 4 ist richtig) ist auch kein Problem.
Sind hier kartesische Koordinaten besser?
Auf keinen Fall, denn dann wärst Du mit nicht-konstanten Integralgrenzen konfrontiert.
Ich versteh desweiteren nicht ganz wieso das Integral ein
roh*z^2 beinhaltet?
Weil der Autor der Aufgabe das will 
Wenn Du es physikalisch interpretieren möchtest, fragt er danach, welche Masse eine Kugel mit einer z2-Dichteabhängigkeit hat.
Wenn es rein um das Volumen gehen würde
dann würde doch das Integral: I = III z dV ausreichen oder?
Nein, ∫∫∫ dV. Du kannst ja als Vorübung versuchen, das bekannte Ergebnis 4π/3 R3 herauszubekommen.
Gruß
Martin
Hallo,
Wenn ich dies benutze komme ich auf ein recht schwieriges Integral
I_z = roh*III [r^3 * cos^2(teta) * sin(teta)]dr d(teta) d(phi)
es sieht vielleicht schwierig aus, ist aber harmlos.
cos2(θ) sin(θ) wandelst Du um zu 1/4 (sin(θ) +
sin(3θ)). Davon kannst Du mühelos eine Stammfunktion angeben.
Jene von r4 (aufpassen, Dein Exponent ist 3, aber 4
ist richtig) ist auch kein Problem.
also ein additionstheorem,
aber 1/4 (sin(θ) + sin(3θ)) ohne ein vorliegendes stammintegral wird dann natürlich schwierig. ist nicht vorgesehen so eines zu benutzen…
trotzdem danke
Ich versteh desweiteren nicht ganz wieso das Integral ein
roh*z^2 beinhaltet?
Die Dichte soll nach außen hin mit dieser Funktion zunehmen.
Wenn es rein um das Volumen gehen würde
dann würde doch das Integral: I = III z dV ausreichen oder?
Dann würde die Dichte linear zunehmen und der Faktor rho würde fehlen.
Veranschauung der Integrale: Es wird erst entlang des Radius integriert, dann in Richtung 1 und dann in Richtung 2.
Was mach ich denn falsch?
Nicht viel, es hat nur noch nicht richtig „Klick“ gemacht.
Ähnliche Aufgaben (mit Lösung) suchen; üben, …
LG
Hallo,
also ein additionstheorem,
sowas ähnliches.
Erster Schritt: c2 s = (c2 + 0) s = (c2 + s2 – s2) s = (1 – s2) s = s – s3
Für den zweiten Schritt musst Du wissen, dass Du alle Sinuspotenzen, also sin2(x), sin3(x) usw. immer in eine Summe von Sinus- oder Kosinustermen mit ganzzahligen Argumentvielfachen expandieren kannst. Siehe dazu den Abschnitt „Potenzen von Winkelfunktionen“ unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonom…
In Deinem Fall kommst Du mit sin3(x) = 1/4 (3 sin(x) – sin(3 x)) auf das Ergebnis
c2 s = sin(x) – 1/4 (3 sin(x) – sin(3 x)) = 1/4 (sin(x) + sin(3 x))
aber 1/4 (sin(θ) + sin(3θ)) ohne ein vorliegendes
stammintegral wird dann natürlich schwierig. ist nicht
vorgesehen so eines zu benutzen…
Was willst Du damit sagen? Das θ-Integral wertest Du über die Stammfunktion zu 1/4 (sin(θ) + sin(3 θ)) aus, und eine solche lässt sich ja sofort angeben (nämlich…?).
trotzdem danke
Was heißt denn hier „trotzdem“? 
Gruß
Martin