Also ich habe da eine Aufgabe, da zerbrech ich mir und ein paar Kumpels schon die Köpfe. Folgendes:
(3.w) = “dritte Wurzel aus“
2*(3.w)x^2-(3.w)x-6=0 Bestimme die Lösungsmenge!
Wenn ich nun die beiden Wurzeln isoliere und „hoch 3“ mache habe ich auf der Seite der Wurzeln ein Binom das ich mit dem Pascalschen Dreieck ausrechnen kann. Und auf der anderen Seite 216. Nach ausrechnen des Binoms erhalte ich dann wiederum zwei „3. Wurzeln“ und nach dem isolieren auf der anderen Seite wiederum ein Binom mit drei Summanden (216-2x^2+x).
Meine Frage ist nun kann ich so weiterrechnen, wenn ja wie? Oder bin ich da schon auf dem falschen Weg?
Wie einfach die Lösung doch immer ist. Danke Enno.
Jetzt aber noch was:
Und zwar sei die Lösung der Gleichung, laut Lösungsblatt: 8
Nach dem Rücksubstituieren erhalte ich die Lösungen: 8 und –27/8. Wenn ich aber die Lösung –27/8 in die Gleichung einsetze, kommt trotzdem Null raus. Also müsste doch die zweite Lösung –27/8 sein, oder verstoße ich gegen ein Rechengesetz, oder wurde die zweite Lösung auf dem Lösungsblatt vergessen?
nein, das sind schon beides Lösungen! Begründung: Die quadratische (!) Gleichung 2 * y^2 - y - 6 = 0 hat zwei Lösungen, nämlich 2 und -3/2. Nun das wichtige: Die Substitution y = x^3 ist eine bijektive Abbildung der reellen Zahlen in sich, also gibt es für jede Lösung y der quadratischen Gleichung eine Lösung x der ursprünglichen Gleichung.
Wenn das keine Textaufgabe ist, wo x irgendeine physikalische Bedeutung hat (z.B. Länge oder so), insbesondere also negative Werte von x zulässig und sinnvoll sind, dann gibt es zwei Lösungen. Ergo wurde die vergessen.