Servus Leute,
wie beweist man denn, dass an einem 3D Würfel die Kanten 90° aufeinander liegen?
Gegeben sind die alle Punkte nur ich bin irgendwie durcheinander, da ich nciht weiß, ob man überhaupt den räumlichen Pythagoras anwenden soll oder auf Vektoren umsteigt oder was weiss ich…
Kann mir jmd. klarheit verschaffen?
mfg,
Hanzo
Grüezi,
wie beweist man denn, dass an einem 3D Würfel die Kanten 90°
aufeinander liegen?
Ich finde, die Frage ist komisch formuliert. Ein Würfel ist per Definition ein Körper aus sechs (kongruenten) Quadraten als Begrenzungsflächen. Das heißt, alle Winkel zwischen beliebigen aneinanderstoßenden Kanten müssen 90° sein, da sie immer auch zwei Seiten eines Quadrates sind, die ja per Definition senkrecht zueinander stehen.
Gegeben sind die alle Punkte nur ich bin irgendwie
durcheinander, da ich nciht weiß, ob man überhaupt den
räumlichen Pythagoras anwenden soll oder auf Vektoren umsteigt
oder was weiss ich…
Hätte ich die 8 Punkte, würde ich für alle Ecken zeigen, dass das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren zweier Kanten kollinear zum Richtungsvektor der dritten Kante ist. Sind alle Beträge der Vektoren und des Kreuzproduktes gelich, muss der Winkel zwischen allen dreien jeweils 90° sein. Man kann das auch für eine Ecke machen und über Symmetriebetrachtungen nachweisen, dass das auch für die restlichen Ecken gilt.
VG
Jochen
Vereinfachen wir das mal auf ein Viereck(Quadrat) ABCD.
Wenn es ein rechter Winkel ist, ist das Skalarprodukt der Vektoren 0.
Genauer: Für den Winkel Gamma im Punkt C von BCD gilt also, dass der Vektor BC senkrecht auf dem Vektor DC ist.
Also muss BC*DC=0 sein.
Im Viereck muss man also 4 Winkel testen. Beim Würfel muss man 24 Winkel testen.
Wobei man sich manche Tests aus Geometrischen Gründen sparen kann.
PS: Immer eine schöne GROßE Planfigur mit Lineal machen damit man alles entziffern kann.
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MOD: „Vektorprodukt“ durch „Skalarprodukt der Vektoren“ ersetzt.
Vektorprodukt = Kreuzprodukt = a × b und Skalarprodukt a · b sind zwei völlig verschiedene Bildungen. Bitte nicht durcheinanderbringen! Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.
Ich finde, die Frage ist komisch formuliert. Ein Würfel ist
per Definition ein Körper aus sechs (kongruenten) Quadraten
als Begrenzungsflächen. Das heißt, alle Winkel zwischen
beliebigen aneinanderstoßenden Kanten müssen 90° sein, da sie
immer auch zwei Seiten eines Quadrates sind, die ja per
Definition senkrecht zueinander stehen.
Ich nehme mal an, das eine Figur getestet werden soll ob es ein Würfel ist.
Ich nehme mal an, das eine Figur getestet werden soll ob es
ein Würfel ist.
Dann würde ich zeigen, dass die drei Raumdiagonalen gleich lang sind und gleich Wurzel(a²+b²+c²) (für drei beliebige Seiten, die vektoriell eine der Raumdiagonalen aufspannen) sind.