3facher Münzwurf von 30 Schülern

Wissenschaft Mathematik
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Hallo WWW’ler,
ich habe vor meine Klasse in 2 Gruppen einzuteilen und dazu jeden Schüler 3mal eine Münze (Kopf K und Zahl Z) werfen zu lassen.
Gruppe K: S, die mindestens zweimal K geworfen haben.
Gruppe Z: S, die mindestens zweimal Z geworfen haben.

Klar ist, dass ich einen Erwartungswert von 2 gleichgroßen Gruppen habe. Wie groß ist aber genau die Wahrscheinlichkeit die Gruppe in 15:15 zu bekommen? Klein, das ist auch klar. Wie groß ist z.B. die Wahrscheinlichkeit 14:16, 13:17 oder allgemein gesprochen die Gruppen auf +/- n Schüler gleichgroß zu bekommen?
Binomialverteilung? Aber wie? Habe K -1 und Zahl +1 zugewiesen, damit es symmetrisch wird, komme damit aber auch nicht weiter.

Wer weiß was?

Danke und Gruß
aleX
PS: Mir ist klar, dass das nicht in 9. Klasse behandelt werden kann - aber neugierig bin ich schon geworden. Zumal ich mir die Frage stelle, wie „sicher“ ich mir sein kann eine akzeptable Gruppeneinteilung zu bekommen. „Sicherer“ als wenn ich jeden Schüler einmal werfen lasse. Es finden ja schließlich 90 Münzwürfe statt und nicht nur 30… *grübel*

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Moin,

Gruppe K: S, die mindestens zweimal K geworfen haben.
Gruppe Z: S, die mindestens zweimal Z geworfen haben.

Das 3x Werfenlassen kannst Du Dir sparen, weil 1x Werfen genau die gleiche Wahrscheinlichkeit ergibt, dass ein Schüler in Gruppe K ist - nämlich genau 1/2. Die Randbedingung 3x werfen verschleiert nur die Wahrscheinlichkeit, in welcher Gruppe die Schüler sind.

Klar ist, dass ich einen Erwartungswert von 2 gleichgroßen
Gruppen habe. Wie groß ist aber genau die Wahrscheinlichkeit

http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung liefert Dir für die W.keit p=0,5 und die Anzahl Ziehungen k (d.h. Schüler in bspw. der Gruppe K) bei n Schülern in der Klasse:

P(k) = {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k}

Gruß,
Ingo

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Hallo Ingo,
danke für die Binomialverteilung - hätte ich grade noch so zusammenbekommen :smile:
3x werfen reduziert meiner Auffassung aber die Streuung, oder nicht? Wenn ich jeden Schüler einmal werfen lasse ist doch eine 10:20 Aufteilung wahrscheinlicher, als wenn ich jeden Schüler 3x werfen lasse?
Erhöht sich durch 3x werfen nicht n auf 90? Ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 1000 Würfen je Schüler genau 15:15 Aufteilung herauskommt nicht höher?
Ich hasse Wahrscheinlichkeitsrechnung - danke für die Geduld.

gruß
aleX

PS: Ähnlicher Fall, der mich zu obiger Überlegung führt - es ist doch wahrscheinlicher, dass von 10 Geburten 7 Mädchen sind, als bei 100 Geburten 70 Mädchen. p=0,5 natürlich.

4

Moin,

danke für die Binomialverteilung - hätte ich grade noch so
zusammenbekommen :smile:

davon war ich eigentlich ausgegangen, ja :smile:

3x werfen reduziert meiner Auffassung aber die Streuung, oder
nicht? Wenn ich jeden Schüler einmal werfen lasse ist doch

Nein. Was Dich interessiert ist ausschließlich mit welcher W.keit ein Schüler in Gruppe K ist - und die ist 0,5 für 1x Werfen und auch 0,5 für 3x Werfen mit Deinen Randbedingungen (Reihenfolge ist egal, daher Angabe der Häufigkeit:

Wurf Häufigkeit Gruppe
ZZZ 1 K
ZZW 3 K
ZWW 3 W
WWW 1 W

Sprich: 2x oder 3x Zahl: Gruppe K, 2x oder 3x Wappen: Gruppe W.

eine 10:20 Aufteilung wahrscheinlicher, als wenn ich jeden
Schüler 3x werfen lasse?
Erhöht sich durch 3x werfen nicht n auf 90? Ist die

Nein. Weil _ein_ Schüler ja immer noch die W.keit 1/2 hat, in Gruppe K zu sein, egal wie oft er wirft.

Wahrscheinlichkeit, dass bei 1000 Würfen je Schüler genau
15:15 Aufteilung herauskommt nicht höher?

Nein, da die Würfe unabhängig voneinander sind, bleibt die W.keit pro Schüler in Gruppe K zu landen 1/2.

PS: Ähnlicher Fall, der mich zu obiger Überlegung führt - es
ist doch wahrscheinlicher, dass von 10 Geburten 7 Mädchen
sind, als bei 100 Geburten 70 Mädchen. p=0,5 natürlich.

Ja, klar. Im Ersten Fall ist es

p = {10\choose 7} 2^{-10} = 0,117

im letzteren:

p = {100\choose 70} 2^{-100} = 2\cdot 10^{-5}.

aber das vergleichbare Intervall ist genauso häufig:

p(k=65…74) = \Sigma_k=65^74 {100\choose k} 2^{-100} = 0,115

wobei aber die Hälfte der W.keit schon durch den Wert k=65 zustande kommt.
Dein Fall ist in sofern unterschiedlich als dass Du niemals mehr als Deine 30 Schüler haben wirst - egal wie oft die würfeln. Wenn Du tatsächlich 90 Schüler hättest, ist die Chance relativ gesehen gleich stark vom Mittelwert abzuweichen geringer. Du hast aber nur 30 - und es ist egal.

Gruß,
Ingo

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Vielen Dank!
Dankeschön Ingo.
Eine Binomialverteilung ist eine Binomialverteilung ist eine… Und die hat nunmal für n=30 k=2 und p=0,5 eine und nur eine Form.

Erhellte Grüße
aleX