denn 2^2^2 = 2^4 = 4^2, aber 3^3^3?
Merkwürdig, daß ich da nie drüber gestolpert bin.
Hier sind wirklich Definitoren nötig!
Fröhliches Pupen,
moin, manni
denn 2^2^2 = 2^4 = 4^2, aber 3^3^3?
Hallo Manni.
das ist in dieser Schreibweise leider nicht eindeutig,
könnte (3^3)^3 oder 3^(3^3) sein.
Festgenagelt würde ich aber ich Möglichkeit 1 wählen mit der Begründung, dass man von links nach rechts rechnet.
Grüße
Oliver - Gott des Feuers
333 - bei Issos Keilerei!
Hallo, Oliver!
Denn mein Matheprogramm MathCadVII rechnet (für mich zunächst überraschend) „von oben“, also 3^27.
Sollte man also schon Samen klemtzern!
Sonst steigt eim doch noch Loki von oben aufds Dach!!!
moin,
Manibal
Problemquelle: neue Naturkonstante?
Hallo, Oliver und Mathefreunde!
Vielleicht interessiert dich/euch auch, wobei ich auf dies „Potenzproblem“ stieß.
Ich fragte mich nämlich, ob es eine ähnliche Entwicklung wie die der „Eulerschen Zahle“ e gibt nur nicht als lim(1+1/n)^n, für n gegunendlich, sondern als
(1+1/2)^(1+1/3)^(1+3/4)^^^^,für n gegunendlich ca 1,809
(1-1/2)^(1-1/3)^(1-3/4)^^^^,für n gegunendlich ca 0,604
(1+1/2)^(1-1/3)^(1+3/4)^^^^,für n gegunendlich ca 1,284
(1-1/2)^(1+1/3)^(1-3/4)^^^^,für n gegunendlich ca 0,42
alle anscheinend, die alternierenden sicherlich, konvergente „Reihenpotenzen“!
Es ist mir allerdings die Theorie noch schleierhaft, v.a. ein möglicher Zusammenhang mit e und der Gammafunktion und dem Logarithmus.
Dabei unterscheiden sich natürlich
a^b^c^d^^^^ von (((((((a^b)^c)^d)^)^)^)^)^^^
Bei meinen oben angegebenen Grenzwerten habe ich mit MathCadVII die „klammerlose“ Versionen berechnet, also. (also „von links hochpotenziert“).
Wäre toll, wenn einer von euch ne Idee hätte, da sich hierbei vielleicht „neue“ Naturkonstanten ergeben könnten.
Haut rein, moin, mathemanni.
Bei Potenzrechnung gilt meines wissens nach: die Potenz gilt wie eine Klammer, d.h. das was in der Potenz steht wird zuesrt berechnet. also entspricht Dein 3^3^3 dem 3^(3^3). Damit ergibt das 3^27=7,625*10^12
Durch die Schreibweise am Rechner sieht das halt so aus als könnte man da Klammern setzen wie bei * und / Rechnung. Wenn das handschriftlcih geschrieben wird )dabei jeweils die Potenz etwas kleiner schreiben als die Basis dann ist sofort klar wie gerechnet werden muss.
Die Sache mit 2^2^2 ist neben 1^1^1 die einzige Kombination wo das geht. z.B. ist auch 2^3^4 = 2^81=2,417*1024 und nicht 8^4=4096
Gruß, Jan
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hi Manni,
denn 2^2^2 = 2^4 = 4^2, aber 3^3^3?
Da schlägt wohl die fehlende Kommutativität der Exponentation zu, die die Möglichkeiten der Verknüpfungen explodieren lässt.
Mir persönlich würde bei der Frage der Klammersetzung besser die Variante (3^3)^3 gefallen.
Folgender Grund:
Multiplikation n x a:
Beginne mit Produkt = n;
(a-1)-mal hintereinander: Ersetze Produkt durch Produkt + n;
Potenz n^a:
Beginne mit Potenz = n;
(a-1)-mal hintereinander: Ersetze Potenz durch Potenz * n;
‚Superpotenz‘ n^^a ( soll heissen n^n^n^…n, a n’s insgesamt)
Beginne mit Superpotenz = n;
(a-1)-mal hintereinander: Ersetze ‚Superpotenz‘ durch ‚Superpotenz‘ ^ n;
Diese Definitionenkette liese sich ad Infinitum fortsetzen.
Was jeweils fehlte wären nette algebraische Strukturen, in die sich diese Verknüpfungen einpassen würden. Soweit ich weiss, kann man einen Körper nicht um eine weitere kommutative Verknüpfung erweitern, so dass auch noch Assoziations- und Distributivgesetze auf diese Verknüpfung anwendbar wären und man einen ‚Superkörper‘ erhielte.
Ich glaube aber, dass man immerhin durch Algorithmen vergleichbar der Heronschen Wurzelberechnungsmethode auch die Umkehrfunktionen zu diesen Superpotenzen und Supersuperpotenzen berechnen kann.
Was es mit diesen Limites auf sich hat, die Du weiter unten berechnest, da kann ich im Moment nur mit der Schulter zucken.
Keine Ahnung wo die in der Natur auftauchen könnten.
Aber solche Überlegungen machen schon Spaß, ich kann das gut nachempfinden.
gruß unimportant
Barsch und ohne Schuppen…
Hallo, lieber Jan, Oliver, Unimportant und andere Mathefrweaks!
Mir fallen endlich die Schuppen aussen Augen!
Und natürlich, lieber Jan, hat auch dein Rechner richtig gerechnet! 3^3^3 = 3^(3^3) = 3^27, und nicht 3^9 !!!
(3^3)^3 = sowieso 3^(3*3), (a^b)^c ist ja sowieso a^(b*c)! (Potenzier-Regel).
Vielleicht interessiert dich aber auch, was wir anderen zu diesem Thema bisher geschrieben haben?!
Könnte vielleicht auch dich neugierig machen!
Denn auch wenns so schön klingt: Der Reihe nach Potenzieren ist doch nichts anderes, als die Ausgangsbasis mit dem Produkt aller folgenden Exponenten potenzieren! Watt binnich doch manchmal blind! (Hier werden nun sicher alle zustimmen, hebse ja schon immer sechz!).
Und mein erster Traum von der „neuen Naturkonstante“ ist dahin, denn (1+1/1)!(1+1/2)^(1+1/3)^^^^, der Reihe nach also „von links aufwärts“ potenziert, gleich
2^(3/2*4/3*5/4***) = 2^(2*3*4***n+***/2*3*4**[n-1]**)=
lim{2^n} = unendlich.
Das ergibt sich auch schon aus der (binomischen) Abschätzung:
(1+1/n)^2 = 1 + 2/n + 1/n^2 > 1 + 2/n, und
(1+1/n)^a > 1 + a/n, also (1+1/1)^(1+1/2)^(1+1/3)^^^ =
(1+1)^(3/2)^(4/3)^^ > 1 + 1*(3/2)*(4/3)**** 1+unendlich.
Und (1-1/2)!(1-1/3)^(1-1/4)^^^^, der Reihe nach also „von links aufwärts“ potenziert, gleich
(1/2)^(2/3*3/4*4/5***) = 2^(2*3*4***[n-1]+***/3*4**n**)=
lim{2^[2/n]} = 0.
Bleibt aber eben offen, ob, wenn ja wohin die unendliche Reihenpotenz (1+1/1)^(1+1/2)^(1+1/3)^^^^ nun strebt?
Und das negative Pendant, und das alternierende!
Mit bloßem Logarithmieren kommt man hier nicht weiter, denn ln(a^b^c) = (b^c)*ln[a], und das geht nur durch weiteres Logarithmieren weiter zu separieren:
ln(ln[a^b^c]) = ln{(b^c)*ln[a]} = ln[b]+ln[c]+ ln(ln[a]), also müßte man die unendliche Reihenpotenz auch unendlich oft logarithmieren, und erhielte dabei doch noch Logarithmen von Summen, denn schon
ln{ln(ln[a^b^c^c])} ist ja = ln{ln(b^c^d)*ln[a]} = ln{ln[b]+ln[c]+ln[d]+ln(ln[a])}, und dieses Auftreten von Summen von sowohl Logarithmen als auch Logarithmen von Logarithmen macht die Angelegenheit wieder unvereinheitlichbarer.
Fragt sich aber, wieso die „positive Reihenpotenz“ gegen 1,8, die negative gegen 0,6044, und die alternierende, positiv mit (1+1/1) beginnend, gegen 1,2845 zu streben scheinen! 1,2845 „riecht“ nach 4ter Wrz aus e, aber das wäre doch unwahrscheinlich!
Dieses Problem bleibt also eine zu lösende Aufgabe und könnte auf jeden Fall auf eine neue Konstante hinauslaufen!
Herzliche mathematische Knobelgrüße, und:
moin, manni.