3n+1 Problem

Wissenschaft Physik
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Hallo,
hat damit schon jmd. „rumgespielt“ ? Mich würde insbesondere interessieren, für welche Teilklassen der natürlichen Zahlen (außer den 2er Potenzen) „Konvergenzresulte“ existieren.

Gruss
Enno

PS: Das (Collatz’sche) 3n+1 Problem (Ulam’sche Vermutung) ist ziemlich einfach formuliert.
Für eine beliebige natürliche Zahl k>0, bilde man die Folge
a0(k)=k
an+1(k)=an(k)/2 falls an(k) gerade, ansonsten an+1(k)=3*an(k)+1
Frage: Enthält jede solche Folge die Zahl 1 („Konvergiert“ jede solche Folge) ?

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Hi Enno!
Ich hab mal damit rumgespielt aber wahrscheinlich nicht so wie Du meinst. Ich hab ein kleines Program geschrieben was die Folgen berechnet und die Zahl der Rechenschritte, also Anzahl der Folgenelemente bis 1.
Das Ergebis hat mich mehr als überrascht und ich hab keine Erklärung dafür, es gab einige Beobachtungen:

  1. Mit größerer Anfangszahl geht eine durchschnittlich höhere Anzahl von Rechenschritten einher (nicht überraschend)
  2. Bestimmte Anzahlen von Rechenschritten werden „bevorzugt“, das heisst bei Intervallen von ca. 1000 Anfangszahlen lassen sich Häufungen von „Rechenschrittenanzahlen“ bei wenigen Anzahlen zeigen.
    (Hat mich sehr überrascht)
  3. Zwei benachbarte Anfangszahlen benötigen häufig die gleiche Anzahl von Rechenschritten.(Fand ich auch sehr überraschend, weil dies ja eine gerade und eine ungerade Zahl beinhaltet die ja in total andere Richtungen starten.)
  4. Jede beliebige Zahl konvergiert (nur experimentell keine Beweisführung, was zu erwarten war)

Ich hab dir wahrscheinlich nicht sehr weitergeholfen, aber mich hat dieses Problem eben mal in der Schulzeit beschäftigt und hat mich über die Mathematik staunen lassen.

Gruß Gaston

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Hallo,

  1. Mit größerer Anfangszahl geht eine durchschnittlich höhere
    Anzahl von Rechenschritten einher (nicht überraschend)

Würde man intuitiv annehmen, da die größeren Zahlen ja irgendwann mal auch Rechenschritte von kleineren Zahlen durchlaufen müssen. Wäre allerdings auch denkbar, daß sie hier häufiger „die kurzen Wege“ finden.

  1. Bestimmte Anzahlen von Rechenschritten werden „bevorzugt“,
    das heisst bei Intervallen von ca. 1000 Anfangszahlen lassen
    sich Häufungen von „Rechenschrittenanzahlen“ bei wenigen
    Anzahlen zeigen. (Hat mich sehr überrascht)

das schau’ ich mir noch mal an.

  1. Zwei benachbarte Anfangszahlen benötigen häufig die gleiche
    Anzahl von Rechenschritten.(Fand ich auch sehr überraschend,
    weil dies ja eine gerade und eine ungerade Zahl beinhaltet die
    ja in total andere Richtungen starten.)

Das ist in der Tat überraschend, obwohl sich diese Eigenschaft ja teilweise „fortplanzt“. Z.B. landen die Nachbarn 2k, 2k+1 für ein ungerades k nach zwei Schritten bei 3k+1 bzw. 3k+2 sind also wieder benachbart. Für 4k und 4k+1 (k wieder ungerade) ergibt sich nach 3 Schritten jeweils 3k+1 d.h beide de facto diesselbe Anzahl an Rechenschritten und auch „überwiegend“ die selben Rechenschritte.

  1. Jede beliebige Zahl konvergiert (nur experimentell keine
    Beweisführung, was zu erwarten war)

Die natürlichen Zahlen wurden schon ziemlich weit abgeklappert, in der Hoffnung ein Gegenbsp. zu finden.

Ich hab dir wahrscheinlich nicht sehr weitergeholfen, aber
mich hat dieses Problem eben mal in der Schulzeit beschäftigt
und hat mich über die Mathematik staunen lassen.

Ich bin eher zufällig in Form eines Rätsels draufgestossen. Ein Arbeitskollege nannte mir dann das Stichwort Ulam’sche Vermutung. Er hatte das in einer Mathevorlesung gehört.

Gruss
Enno