Moien
Ich hab eine symmetrische, positiv definite 3x3 Matrix und brauche ihre Eigenvektoren. Mit den allgemeinen Methoden geht das ja, aber gibt es für diesen Fall einen einfacheren/schnelleren Weg? Reicht für den Ansatz schon die Symmetrie?
Danke.
Hey pumpkin,
also ich persönlich bräuchte auf jeden Fall die Eigenwerte um weiterzukommen, sprich auf jeden Fall Rechenarbeit.
Ein schneller Weg fällt mir nicht ein und nach ein bisschen Recherche auch vielen anderen Leuten nicht 
Was bei mir hängen geblieben ist:
Bei symmetrischen und positiv definiten Matrizen sind die Eigenvektoren bei unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal zueinander.
Aber großartige Aussagen über die genauen EVs kann man dann ja auch nicht sagen
Wird man wohl oder übel bissl rechnen müssen - hoff aber, dass es hier bei Leute gibt, die es einfacher machen können
Gruß René
Hallo,
Bei symmetrischen und positiv definiten Matrizen sind die
Eigenvektoren bei unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal
zueinander.
das gilt nicht nur bei positiv definiten Matrizen, sondern immer.
Gruss,
Timo
Hey Timo,
das sehe ich nicht so.
Habs grad an einer 2x2-Matrix ausprobiert („So einfach wie möglich, aber nicht einfacher“ Albert Einstein).
Berechne mal die Eigemvektoren von:
2 4
1 2
(Kleine Zwischenfrage: Warum kann ich hier in Latex keine Matrizen erstellen? Fehlt mir da des Package zum einbinden?)
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sind die Eigenvektoren nicht ortoghonal zueinander.
Gruß René
Hallo,
Deine Matrix ((2, 4), (1, 2)) ist nicht symmetrisch. Bei einer symmetrischen, positiv definiten Matrix sind die Eigenvektoren orthogonal zueinander. Dabei ist die Eigenschaft „positiv definit“ jedoch irrelevant, aber nicht die Eigenschaft „symmetrisch“, d. h. bei allen symmetrischen Matrizen sind die Eigenvektoren orthogonal, egal ob die Matrizen positiv definit sind oder nicht.
Das „immer“ in Tims Aussage „das gilt nicht nur bei positiv definiten Matrizen, sondern immer“ ist als „immer für symmetrische Matrizen“ zu verstehen.
Berechne mal die Eigemvektoren von:
2 4
1 2
Charakteristisches Polynom: (λ – 2)2 – 4 ⇒ Eigenwerte &lambda1 = 0, &lambda2 = 4. Die zugehörigen Eigenvektoren sind (1, 1/2) α bzw. (1, –1/2) α.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sind die Eigenvektoren
nicht ortoghonal zueinander.
Ja, weil Deine Matrix nicht symmetrisch ist.
(Kleine Zwischenfrage: Warum kann ich hier in Latex keine Matrizen erstellen?
Fehlt mir da des Package zum einbinden?)
Nein, hier gibt es keine Packages; nur der Code muss stimmen:
A = \left(
\begin{array}{cc}
2 & 4\
1 & 2
\end{array}
\right)
\quad\quad
M = \left(
\begin{array}{ccc}
x_{11} & x_{12} & \ldots\
x_{21} & x_{22} & \ldots\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array}
\right)
A = \left(
\begin{array}{cc}
2 & 4\
1 & 2
\end{array}
\right)
\quad\quad
M = \left(
\begin{array}{ccc}
x_{11} & x_{12} & \ldots\
x_{21} & x_{22} & \ldots\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array}
\right)
Gruß und ein schönes WE
Martin
Hey Martin,
da hab ich die Aussage wohl missverstanden, danke für die Aufklärung.
Bei den Matrizen hatte ich als Code immer nur
\begin{matrix} … \end{matrix}
Werds mal so versuchen, wie du es gesagt hast Danke schön.
Dir auch ein schönes Wochenende
Gruß René