Hi!
Bin gerade auf was Merkwürdiges gestoßen und habe es nicht verstanden. Nein, ich bin nicht der Schüler, ich bin die Mutter dazu 
Es geht um periodische Dezimalzahlen, die in Brüche umgewandelt werden sollen.
Also 0,periode3 = 1/3
0,periode6 = 2/3
0,periode9 = 3/3 = 1
Ist die letzte Zeile richtig? Das ist doch unlogisch. periode 9 heißt ja eben nicht ganz eins?
Danke für Erhellung.
Grüße
kernig
Hallo,
0,periode9 = 3/3 = 1
Ist die letzte Zeile richtig? Das ist doch unlogisch. periode
9 heißt ja eben nicht ganz eins?
Doch doch, stimmt schon. Dadurch, dass du unendliche viele 9er hinter dem Komma schreibst, ist der unterschied zwischen 1 und 0.9999… unendlich klein, also 0. Also sind es die gleichen Zahlen.
Gruesse,
Moritz
Hi,
diese Frage hatte ich auch schonmal von einem jüngeren Freund und ihm habe ich sie folgendermaßen erklärt.
Wenn wir von 1/3 reden, dann könnte man das auc 1:3 rechnen dann kommen wir aber auf einen unendlich langen Wert und nähern uns nur der 1 an. Das gleiche bei 2/3 (2:3).
Wenn man jetzt aber 3/3 (3:3) dann Bekommt man 1 als Ergenbnis heraus, da wenn man eine Zahl durch sich selbst teilt, dann eribt dies immer 1.
Counter
Hi,
diese Frage hatte ich auch schonmal von einem jüngeren Freund
und ihm habe ich sie folgendermaßen erklärt.
und hat er deine Erklärung verstanden? Ich nämlich nicht.
Wenn wir von 1/3 reden, dann könnte man das auc 1:3 rechnen
dann kommen wir aber auf einen unendlich langen Wert und
nähern uns nur der 1 an. Das gleiche bei 2/3 (2:3).
Wie soll man denn das verstehen? Wenn ich 1/3 der Torte esse, ist also so gut wie nichts mehr von ihr übrig???
Wenn man jetzt aber 3/3 (3:3) dann Bekommt man 1 als Ergenbnis
heraus, da wenn man eine Zahl durch sich selbst teilt, dann
eribt dies immer 1.
Und was hat das mit 0,9 Periode zu tun?
Gruß
Pontius
ja und nein
Hi!
Ja, so weit war ich auch schon. Aber zum Ziel bringt mich das auch nicht:
Doch doch, stimmt schon. Dadurch, dass du unendliche viele 9er
hinter dem Komma schreibst, ist der unterschied zwischen 1 und
0.9999… unendlich klein, also 0. Also sind es die gleichen
Zahlen.
Aber unendlich klein heißt doch eben nicht gleich null?
So wie sich 2 Parallele erst in der Unendlichkeit kreuzen, die treffen sich ja auch nicht im Winkel 179,periode9?
Hm, also mir ist das suspekt.
Grüße
kernig
Nur ein Problem der Darstellung
Das von Dir vermutete Delta ist aber nur ein Effekt des Zahlensystems.
Würde man die Ergebnisse in einem Dreiersystem darstellen, gebe es keine Periode sondern das „richtige“ Ergebnis.
Es ist die Unfähigkeit des Dezimalsystems, solche Zahlen mit einer endlichen Anzahl Stellen zu repräsentieren. Die tatsächlichen Werte sind dagegen exakt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schild…
Ciao, Allesquatsch
Hi,
Du bist nicht allein mit Deiner Frage, um dieses Problem werden ganze Glaubenskriege ausgetragen. Schau Dir dazu
http://en.wikipedia.org/wiki/0.999…
die Diskussionsseite und die Archive der Diskussionsseite an. Vergleichbar (im mathematischen Teil der WP) an Intensität ist nur noch das Ziegentorproblem.
Das einfachste Argument ist die Frage nach Abschätzungen des Abstandes. Der Abstand von 1 und 0,999… ist sicher kleiner als 0,1. Und sicher auch kleiner als 0,01. Und kleiner als 0,0000001. Und so weiter. Damit muss der Abstand kleiner als jede positive Zahl sein. Er ist aber auch nicht negativ. Damit bleibt nur noch die 0 für den Abstand übrig. Und das heißt, dass beide Ausdrücke dieselbe Zahl bezeichnen.
Gruß, Lutz
Hallo kernig,
vielleicht ist das Folgende erhellend:
Die nicht abbrechenden Dezimalbrüche (periodisch oder nicht; wie z.B. bei PI=3.14159…) sind eine Schreibweise für konvergente Reihen, die immer einen Grenzwert haben. In dieser Terminologie kommen Begriffe wie „unendlich klein“ nicht vor.
Der Grenzwert von 0.33… = 3/10+3/100+3/1000+… ist 1/3.
Der Grenzwert von 0.99… = 9/10+9/100+9/1000+… ist 1.
Man setzt also den Wert des nicht abbrechenden Dezimalbruchs gleich dem Grenzwert der betreffenden Reihe.
Weißt Du, wie man einen nicht abbrechenden, periodischen Dezimalbruch in einen Bruch wandelt, d.h. den Grenzwert bestimmt? Ich nehme an, dass die Schüler das tun sollen.
Viele Grüße von
Haubenmeise
ganz einfach…
0,periode9 = 3/3 = 1
wäre das nicht richtig, würde das bedeuten, dass 3/3 nicht 1 ist.
wenn man das annimmt, bekommt man spätestens dann ein problem, wenn man 3/3 von 0,9 periodisch rechnet. es muss offenbar 0,3 periodisch mal 3, also 0,9 periodisch sein, und damit gleich der ausganzszahl - was aber nicht sein kann, wenn 3/3 nicht 1 ist.
in mathematischer schreibweise:
(1) angenommen 3/3 ≠ 1
(2) daraus folgt: 0,9 periodisch * 3/3 ≠ 0,9 periodisch (* 1)
(3) 0,9 periodisch * 3/3 = 0,3 periodisch * 3 = 0,9 periodisch => widerspruch zu (2)
(4) also ist (1) falsch, 3/3 = 1. qed.
(4) also ist (1) falsch, 3/3 = 1. qed.
Ich verstehe nicht, warum du versuchst zu beweisen, was jedem klar ist und niemand bestritten hat.
„kernig“ wollte nicht erklärt haben, warum 3/3=1 ist, sondern warum 0,9Periode=3/3 sind.
Hallo gyuri,
das ist ja ein ganz seltsamer „Beweis“.
Mutter kernig hatte bezweifelt, ob 0.999… = 1 sei, und nicht, ob 3/3=1 sei. Letzteres ist trivial. Dass 0.999… = 1 ist, lässt sich nur dadurch beweisen, indem man den Grenzwert der Reihe
9/10+9/100+9/1000+… bestimmt.
Wer Deinen Pseudo-Beweis versteht, soll sich hier mal melden!
Viele Grüße von
Haubenmeise
Aber unendlich klein heißt doch eben nicht gleich null?
Hi,
doch, im Bereich der „Normalen Zahlen“ heißt es das. Es gibt den Bereich der Nichtstandard-Analysis, wo man auch mit unendlich kleinen und unendlich großen Zahlen rechnet. Dabei sind dann die unendlich kleinen trotzdem von Null verschieden und die unendlich großen trotzdem kleiner als +oo.
Soweit so unwichtig. Aber eine wichtige Eigenschaft dieser Theorie ist, dass alle Zahlen, die man mit endlich vielen Zeichen beschreiben kann, Standardzahlen sind, für die dann die „normale“ Mathematik gilt. Und
„0,999 und dann immer nur 9en“
ist so eine Beschreibung in endlich vielen Zeichen.
Im Gegensatz dazu ist zwar
„0.000 und dann unendlich (oo) viele Nullen und dann eine 1“
auch eine endliche Beschreibung, aber keine Konstruktionsvorschrift für eine Zahl. Denn jede Ziffer in einer Dezimaldarstellung hat eine (endliche) Stelle, aber was wäre die Stelle der 1?
Gruß, Lutz
ich habe extra ihre zeile
0,periode9 = 3/3 = 1
zitiert.
ich habe nie angenommen, dass irgendjemand mit der gleichheit von 0,9p und 3/3 ein problem hat, und habe darauf hingewiesen, dass daraus die gleichheit mit 1 folgt. in meiner argumentation tauchen alle drei genannten zahlen auf, deren gleichheit sie in frage gestellt hat.
„kernig“ wollte nicht erklärt haben, warum 3/3=1 ist, sondern
warum 0,9Periode=3/3 sind.
interessant, da schreibt jemand aber was anderes. deswegen habe ich gar nicht erst interpretiert, mit welcher der drei möglichen gleichheiten sie ein problem hat, sondern alle drei in einem aufwasch erledigt. warum 0,9p=3/3 ist, geht aus meinem post auch hervor.
Hi!
Bin gerade auf was Merkwürdiges gestoßen und habe es nicht
verstanden. Nein, ich bin nicht der Schüler, ich bin die
Mutter dazuEs geht um periodische Dezimalzahlen, die in Brüche
umgewandelt werden sollen.Also 0,periode3 = 1/3
0,periode6 = 2/3
0,periode9 = 3/3 = 1Ist die letzte Zeile richtig? Das ist doch unlogisch. periode
9 heißt ja eben nicht ganz eins?
0,33… ist aber genau so „weit“ von 1/3 entfernt!
Die Dezimalschreibweise erfasst solche Brüche halt nicht so wirklich.
Die Periode ist da eine Krücke.
0,999… ist unendlich nahe an 1 - somit ist es 1.
ok ok
Hi!
Danke für die vielen Antworten.
An die Sache mit der Grenzwertbestimmung kann ich mich ganz dunkel noch erinnern, aus meiner Schulzeit.
Die Kinder sollten nichts dergleichen tun, nur eben die periodischen Zahlen als Brüche angeben und da stand das so unkommentiert im Heft, dass ich drüber gestolpert bin.
Grüße
kernig
Hallo Lutz,
ich weiß nicht, ob man zur Erklärung des Wertes von 0.999… die
Nichtstandard-Analysis bemühen muss. Z.B. halte ich den Begriff „unendlich klein“ für eine Zahl, die näher an der Null liegt als alle von Null verschiedenen Zahlen, für äußerst gewöhnungsbedürftig. Mit diesem Begriff umzugehen geht eigentlich nur, wenn man die ganze Theorie der Nichtstandard-Analysis gelernt und begriffen hat. Und das sollte man zur Erklärung von nicht abbrechenden Dezimalbrüchen tun? Ich glaube nicht.
In meiner Schulzeit war es immer ein furchtbares Geeiere, wenn mit „unendlich kleinen Größen“, die „nicht null sind, sondern Null werden“
(O-Ton meines Mathelehrers) die Ableitung einer Funktion hergeleitet wurde. Es war wie eine Befreiung, auf der Uni die sogen. Epsilontik
zur Definition von Grenzwerten nahegebracht zu bekommen.
Daher mag ich nichts von „unendlich kleinen Zahlen“ hören, mindestens nicht im Zusammenhang mit nicht abbrechenden Dezimalbrüchen.
Einigen Postings zu diesem thread entnehme ich, dass der Grenzwertbegriff weigehend unbekannt ist.
Viele Grüße von
Haubenmeise
Hallo Allesquatsch,
ich muss widersprechen: auch die Darstellung von Zahlen als nicht abbrechender Dezimalbruch ist exakt: Der Wert der Zahl ist gleich dem Grenzwert der durch den nicht abbrechenden Dezimalbruch dargestellten unendlichen Reihe!
In diesem Sinne ist das Dezimalsystem genau so „fähig“ wie alle anderen Stellenwertsysteme auch!
Hallo Haubenmeise,
ich weiß ja nicht, was Du gelesen hast, …
Es wurde einfach der Begriff der unendlich kleinen Zahlen ins Spiel gebracht. Ich wollte nur ausdrücken, dass man sowas betrachten kann, dass es aber praktisch und vor allem in der Schule keine Rolle spielt.
@allgemein, zusammenfassend: Es gibt keinen „unendlich kleinen“ Abstand zwischen 0,999… und 1, sondern dieser Abstand ist exakt Null. (Was ich weiter oben schon schrieb.) Beides sind Darstellungen der exakt selben Zahl, weshalb man üblicherweise Neuner-Perioden aus der Dezimaldarstellung ausschließt, damit jede Zahl genau eine Darstellung hat. (Nur die 0 hat zwei, +0 und -0 
Gruß, Lutz
Hi,
das hätte man im Original etwas deutlicher Darstellen können. Vermutlich ging es darum, dass ausgerechnet wurde, dass
1/3=0,3333…
ist. Daraufhin wurde das Doppelte betrachtet,
2/2=2*1/2=2*0,333…=0,666…
und dann das Dreifache
3/3=3*1/3=3*0,333…=0,999…
Nun ist es aber eine Regel der Dezimaldarstellung, dass keine Neunerperioden als Ergebnis zugelassen werden, sondern dass „aufgerundet“ werden muss. Wobei die „aufgerundete“ Zahl immer noch dieselbe ist, es wirde nur die andere, endliche Darstellung bevorzugt. D.h. nach dem Zwischenergebnis muss kommen
3/3=3*1/3=3*0,333…=0,999…=1
Grenzwerte braucht man hier und einige weitere Schuljahre nicht.
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In diesem Zusammenhang braucht man sie irgendwann in einem LK oder an der Uni, wenn man dann rechtfertigen will, warum die Dezimaldarstellung wirklich eine Darstellung der reellen Zahlen ist.
Dazu muss man vorher aber etwas grundlegender definieren, was denn die reellen Zahlen „sind“. (Diese Frage wurde erst am Ende des 19. Jh. geklärt, vorher hatte jeder so seine Privatvorstellung, und der Mathematikbetrieb hat auch so funktioniert.)
}}
Ich glaube, in der Schule sind die reellen Zahlen gerade die unendlichen Dezimaldarstellungen. Und das reicht auch aus. (Nennt man auch die Darstellung irrationaler Zahlen „Dezimalbruch“?)
Gruß Lutz