Hallo, bin nicht ganz sicher ob ichs kann. Aber hoch minus irgendwas mod irgendwas fällt mir schwer. Mit ^-1 kriege ich das noch gut hin…
7^-1 mod 26 = 15
aber zum Beispiel ^-3?
Also 7^-3 mod 26 = 19? Kann das stimmen?
Gruß
Den Modulo-Operator kenne ich eigentlich nur für natürliche bzw. ganze Zahlen.
Ansonsten würde ich aber sagen, a mod b = a, wenn a 1.
Allerdings würde ich gerne wissen, wie du auf 15 bzw. 19 kommst…
mfg,
Ché Netzer
Hallo,
ich verstehe nicht ganz, wie du auf die Werte kommst…
Modula (mod) gibt den ganzzahligen Rest bei einer Division an.
3 mod 2 = 1 (3:2 = 3 R 1 )
2 mod 3 = 2 (2:3 = 0 R 2 )
a^{-k} = \frac{1}{a^k}
also:
7^{-1} = \frac{1}{7} \mod 26 = \frac{1}{7}
0,1428 : 26 = 0 R 0,1428
7^{-3} = \frac{1}{7^3} = \frac{1}{343} \mod 26 = \frac{1}{343}
0,0029 : 26 = 0 R 0,0029
Wobei ich nicht sicher bin, ob das ganze so legitim ist, da mod nur für Ganzzahlen verwendet wird.
LG
Nur Natürlich Zahlen…
Hallo,
ich verstehe nicht ganz, wie du auf die Werte kommst…
Modula (mod) gibt den ganzzahligen Rest bei einer Division
an.
…
Also ich habe das so verstanden, dass ich als Ergebis NIE krumme Werte haben darf. Also 1/7 mod 26 darf keine 1/7 sein. Natürliche Zahlen sollten das sein.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=7^-1+mod+26
Ich habe gemacht: 26 * X + 1 : 7 = erste natürliche Zahle = 15
Vllt ne doofe Art zu rechnen, aber es funktioniert…
Ich habe gemacht: 26 * X + 1 : 7 = erste natürliche Zahle = 15
Bei 7^-3 mod 26 habe ich das auch so versucht:
26 * X + 3 : 7 = erste natürliche Zahle = 19
Bei 7^-1 stimmt das. Aber ob das bei 7^-3 auch so „einfach“ geht weiß ich leider nicht.
Gruß
Also ich habe das so verstanden, dass ich als Ergebis NIE
krumme Werte haben darf.
Vollkommen richtig, aber das setzt voraus, dass auch nur mit ganzen Zahlen gerechnet wird 
Ich nehme mal an, es wird keinen Widerspruch geben, wenn ich sage, dass 7^-1 = 1/7, oder?
Hier irgendwie schon:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F7%29+mod+26
Ich habe gemacht: 26 * X + 1 : 7 = erste natürliche Zahle =
15Vllt ne doofe Art zu rechnen, aber es funktioniert…
Die Gleichung verstehe ich nicht ganz…
erste natürliche Zahl?
Wenn 26*x + 1/7 = 15, dann ist x = 1/1,75
Wenn x = 15 sein soll, ist 26*x + 1/7 = 390,142857…
mfg,
Ché Netzer
Hey Trollgo,
also
7^{-1} \mod 26 = 15
kann ich dir bestätigen - vorausgesetzt :
\mathbb Z/26 ist ein Körper.
Z mod 26 ist aber meiner Ansicht nach kein Körper - ob es trotzdem so geht, muss dir ein Algebraiker sagen. Die Operation, die nämlich dahintersteckt ist eigentlich nur das inverse Element zu finden, dazu bräuchten wir halt die Eigenschaften eines Körpers.
Nehmen wir mal an, es geht auch ohne einen Körper:
Bei
7^{-3} \mod 26
gehst du dann ähnlich vor (d.h. erst das Inverse bestimmen und dann normal weitermachen):
7^{-3} \mod 26 = \ (7^{-1})^3 \mod 26 = 15^3 \mod 26
und des kann man jetzt wieder auszurechnen.
Gruß René
Zusatz
Zur Vollständigkeit:
15^3 \mod 26 = 21
hier sieht man, dass 19 als Lösung falsch war.
Gruß René
Hey Ché Netzer,
Ich nehme mal an, es wird keinen Widerspruch geben, wenn ich sage, dass 7^-1 = 1/7, oder?
Widerspruch! 
In der Mathematik wird das inverse Element mit dem Exponent -1 gekennzeichnet. In den reellen Zahlen ist 7^-1 = 1/7 völlig korrekt - bei modulo p rechnen befindet man sich aber im Restklassenring Z/pZ.
Hier ist das Inverse etwas vollkommen anderes, nämlich eine ganze Zahl.
Und genau das Inverse hat Trollgo mit seiner Gleichung
( 26 * X + 1 ): 7 = erste natürliche Zahl
berechnet. Mal mit Worten ausgedrückt, heißt es doch dann nichts anderes als:
Welche Zahl mit 7 multipliziert ergibt ein Vielfaches von 26 plus 1?
Vielfaches von 26 plus 1 bedeutet aber nichts anderes als das modulo 26 gerechnet genau 1 rauskommt - also das neutrale Element der Multiplikation. Somit also dein Inverses Element.
Wie dann weitergerechnet wird, hab ich oben in meiner Antwort versucht zu erklären.
Schönen Abend dir noch
Gruß René
Hossa
Der Modulo-Operator liefert den Rest einer ganzzahligen Division. Für zwei ganze Zahlen a und b wäre dann:
a,\mbox{mod},b=a-\mbox{int}(a/b)\cdot b
wobei die Funktion „int“ auf die nächste kleinere ganze Zahl abrundet.
Ich kenne es, dass man diese Definition auf Fließkomma-Zahlen erweitert. Oft findet man z.B. den Ausdruck „a mod 1“, was bei positivem a die Nachkommastellen liefert.
7^-1 mod 26 = 15
\frac{1}{7},\mbox{mod},26=\frac{1}{7}-\mbox{int}\left(\frac{1}{7}/26\right)\cdot 26=\frac{1}{7}
Und genau das erwartet man doch als Rest der Division von 1/7 durch 26.
Daher würde mich mal interessieren, wie der von dir verwendete Modulo-Operator definiert ist bzw. sein soll…
Viele Grüße
Hasenfuß
Hallo,
dann will ich mich auch mal zu Wort melden.
Meiner Meinung nach ist für die Existenz eines multiplikativ Inversen kein Körper erforderlich. Ein multiplikativ Inverses existiert für alle Einheiten (Nicht-Nullteiler) in einem Ring. In einem Körper (oder einer multiplikativen Gruppe) sind alle Elemente Einheiten, also gibt es dafür immer ein multiplikatives Inverses. In Z_26 gibt es nur einige Einheiten, die dann jeweils Inverse haben.
Das Inverse i zu p ist definiert durch:
i * p = 1 => p^(-1) * p = 1
oder analog: p^(-3) * p^3 = 1
Die bereits erwähnte Umformung 7^(-3) = (7^3)^(-1) = 5 ^(-1) hilft da schon etwas weiter.
Das multiplikative Inverse zu 5 lässt sich ja leicht ermitteln. Du hast einen Weg genannt - ein weiterer wäre der euklidische Algorithmus. Daraus folgt 5^(-1) = 21. Denn 21 * 5 = 1 (mod 26)
Das ganze jetzt noch potenzieren und wir haben das Inverse zur 7^3, was 21 ist.
Überprüfen ergibt: 7^3 * 21 = 7^3 * 7^(-3) = 7^0 = 1 (mod 26)
Ich denke, das war recht ausführlich.
Zufriedengestellt?
Nico
Hallo,
das ganze beruht auf endlichen Gruppen, Ringen und Körpern. Dabei werden - um die Endlichkeit herzustellen - die Elemente modulo x gerechnet.
Näheres dazu in meinem Post oben
Nico
Das heißt, in einem Restklassenring Z/pZ ist ein inverses Element zu a so definiert, dass a \cdot a^{-1} \mod p = 1?
Was auch immer jetzt ein Restklassenring sein mag; das sehe ich mir dann morgen an
Also wäre 7^-1 mod 11 = 8?
Aber das ist doch dann nicht immer definiert, oder?
mfg,
Ché Netzer
Hey,
yep, die Definition würde ich so stehen lassen.
Also wäre 7^-1 mod 11 = 8
Genau richtig!
Aber das ist doch dann nicht immer definiert, oder?
Das war auch mein Problem - deswegen hab ich erstmal nur von einem Körper gesprochen. Hier ist die Existenz immer gegeben.
Noch dazu: Wenn p eine Primzahl ist, ist Z/pZ immer ein Körper.
Bei Z/26Z war ich deswegen erstmal vorsichtig
Na dann mal viel Spass morgen
Gruß René
Das war auch mein Problem - deswegen hab ich erstmal nur von
einem Körper gesprochen. Hier ist die Existenz immer gegeben.
Aber was ist beispielsweise mit 5^-1 mod 5? Oder mit allen anderen Zahlen, wenn sie beide gleich sind. Oder noch allgemeiner a^-1 mod b, wenn a ein Vielfaches von b ist. Da dürfte so ziemlich immer 0 rauskommen.
mfg,
Ché Netzer
Hey,
da musst du ein klein wenig aufpassen! Es kommt nicht 0 raus, sondern es ist nicht möglich.
Es gilt a mod b = 0, wenn a ein Vielfaches von b.
Daraus folgt aber, dass a^(-1) mod b nicht existieren kann, da die 0 kein inverses Element besitzt (nach Definition).
Gruß René
Oh, natürlich
Ich glaube, ich bin noch etwas irritiert, was man jetzt als Zahl oder Rechenoperation betrachten kann.
a mod b ist dann eher etwas wie eine Eigenschaft von a? Bzw. a^-1 mod b ist das Inverse zu a mod b; nicht etwa a^-1 zu a?
mfg,
Ché Netzer