72 - Verdoppelungszeit

Wissenschaft Physik
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Hallo!

Ich hätte eine Frage (bzw Hausaufgabe) und wäre sehr dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Ich muss rauskriegen wie das mit der Verdoppelungszeit und der tollen Zahl 72 funktioniert.

Beispiel:
0 Jahre 50 000 Euro Kapital
1 Jahr 55 000
2 Jahre 67 000
11 Jahre 102 000
Nach 11 Jahren hat sich das Kapital verdoppelt - was für ein Zinssatz wurde verwendet?
Man rechnet 72 / 11 = ca. 6,5 % - und schon hat man das ungefähre Ergebnis. Das funktioniert bei allen möglichen Zinsberechnungen usw, immer mit der Zahl 72.

Hab schon bei google gesucht, aber nur komplizierten Formelmüll gefunden den ich trotz Bemühen meiner grauen Zellen nicht verstehe.

Kann mir jemand erklären (so dass es ne Schülerin versteht), warum gerade 72? und warum das funktioniert?

Danke im Voraus
Birgit

2

Hi…

Ich hätte eine Frage (bzw Hausaufgabe) und wäre sehr dankbar

Böses Stichwort.

wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Ich muss rauskriegen wie
das mit der Verdoppelungszeit und der tollen Zahl 72
funktioniert.

Beispiel:
Nach 11 Jahren hat sich das Kapital verdoppelt - was für ein
Zinssatz wurde verwendet?

Man rechnet 72 / 11 = ca. 6,5 % - und schon hat man das
ungefähre Ergebnis. Das funktioniert bei allen möglichen
Zinsberechnungen usw, immer mit der Zahl 72.

Hab schon bei google gesucht, aber nur komplizierten
Formelmüll gefunden den ich trotz Bemühen meiner grauen Zellen
nicht verstehe.

Kann mir jemand erklären (so dass es ne Schülerin versteht),
warum gerade 72? und warum das funktioniert?

Ich vermute, das hat niemand formal berechnet, sondern ein Bänker in grauer Vorzeit ist durch Probieren darauf gekommen.

Zinsberechnungen sehen ja so aus:

S = s * ( 1 + z )n

[S = Endsumme, s = Startsumme, z = Zinssatz, n = Laufzeit]

Nun sagt Deine Näherungsformel:

s = 2 s => z = 0,72 / n

und setzt man das oben ein, erhält man:

2 s = s * ( 1 + 0,72 / n )n

bzw.

( 1 + 0,72 / n )n = 2

und das passt tatsächlich für alle n im banküblichen Bereich (5 - 30) ziemlich gut.

BTW: 71 passt im gegebenen Bereich noch besser, was meinen Verdacht weiter nährt. 72 hat dem Erfinder wohl besser gefallen, weil es durch 12 teilbar ist - solche Zahlen lassen sich für jemanden, der oft Zeiträume in Monaten angibt, leichter merken.

genumi

3

Hallo

Zinsberechnungen sehen ja so aus:

S = s * ( 1 + z )n

[S = Endsumme, s = Startsumme, z = Zinssatz, n = Laufzeit]

um die Laufzeit für Kapitalverdopplung zu bestimmen, muß S = 2*s gesetzt und nach n aufgleöst werden:

2*s = s * ( 1 + z )n

2 = ( 1 + z )n

Das ist unabhängig vom Startkapital und der Exponent n wird dann durch Logarithmieren gefunden:

ln(2) = n * ln(1 + z)

ln ist der natürliche Logarithmus (Basis e), aber es geht prinzipiell auch mit dem dekadischen

ln(2) = 0.69314
für kleine Zinssätze z kann der Ausdruck ln(1+z) ersetzt werden durch ln(1 + z) ca. z, und damit

n = 0.6931 / z

Ist z der Zinssatz in Prozent gegeben

n = 69.31 /z

Wie schon gesagt von genumi gesagt, sind die Altvorderen sicher durch probieren darauf gekommen, die 72 hat mit den evtl. Monaten zu tun. Allerdings haben die richtigen Wuchererer ja auch keine kleine Zinssätze genommen.

Gruß
Albert

4

oder um genau zu sein
Durch die vereinfachung

für kleine Zinssätze z kann der Ausdruck ln(1+z) ersetzt
werden durch ln(1 + z) ca. z, und damit

ist auch das Ergebniss vereinfacht.

Hier ein kurzer Überblick, welche Zahl bei welchem Zinssatz „richtig“ wäre.

2% : 70
5% : 71
8% : 72
11% : 73
17% : 75
23% : 77
…
100% : 100 (was wieder sehr einfach ist)

Die 72 ist da zum einen (wie schon gesagt) wegen der Teilbarkeit durch 1,2,3,4,6,8,12 sehr gut handhabbar, und liegt genau im Zentrum der meisten Spekulationen (8%, ehrlich, ohne Risiko!!, wer da nicht zugreift ist selber schuld!! Ich sage euch wie:wink:.

Gruß
achim

5

Danke
Danke für eure hilfe,

muss mich entschuldigen - hab die anti-hausübungs-beantwortungs-klausel erst jetzt gesehen. trotzdem danke für die antworten, haben mir sehr geholfen.

mfg
birgit