Hallo liebe Mathematiker und Mathematikerinnen,
vielleicht kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen:
Jemand möchte 9 Bonbons kaufen, und es gibt vier verschiedene Sorten. Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es?
Ich hab schon einiges probiert…bin jetzt bei 11 über 4 also 330 Möglichkeiten, stimmt das?
DANKE!!!
Ali
Ich bin mir sicher, dass es 9 über 4 ist!
Stefan Huber
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hm?
Ich hab schon einiges probiert…bin jetzt bei 11 über 4 also
330 Möglichkeiten, stimmt das?
Ich bin für 12 über 3.
Hier mein Ansatz:
Zeichne ein Rechteck, bestehend aus 9*3 quadratischen Kästchen.
Die vier waagerechten Unterteilungslinien male in den vier Bonbonfarben an.
Nun stell Dir vor, das ist ein Straßennetz, Du bist in der Ecke unten links, Du willst nach oben rechts, und Du darfst nur nach rechts und nach oben gehen (Einbahnstraßen).
Dazu musst Du genau 9 Einheiten nach rechts, also auf den bonbonfarbenen Straßen, und 3 Einheiten nach oben gehen.
Nun ist die Frage, wieviele Möglichkeiten es dafür gibt.
Wenn Du an jede Ecke die Zahl der Möglichkeiten schreibst, die es gibt, zu ihr zu gelangen, dann erhält die Ecke ganz unten links (wo Du losgehst) eine 1, und alle Ecken am unteren Rand des Rechtecks ebenso. Die Ecken am linken Rand auch.
Die Ecke schräg über der unteren, linken erhält eine 2, da man auf zwei Wegen (von links und von unten) zu ihr gelangen kann.
Weiter erhält jede Ecke die Summe der Zahlen der Ecke links von ihr und der Ecke unter ihr.
Wenn Du dich da rekursiv durchgehangelt hast, merkst Du, dass es ein schrägliegendes Pascalsches Dreieck ist und dass oben rechts 12 über 3 steht.
Wenn Du Dich jetzt noch fragst, was das Straßennetz mit Deinem Problem zu tun hat, dann stell Dir vor, dass Du auf jedem waagerechten, bonbonfarbenen Straßenstück genau ein Bonbon der entsprechenden Farbe aufsammelst, dann hast Du am Ziel genau 9 Bonbons, und jedem Weg zum Ziel entspricht eine der gesuchten Kombinationsmöglichkeiten.
Ich bin mir sicher, dass es 9 über 4 ist!
Hi,
und ich bin mir noch sicherer, daß es nicht"9 über 4" ist, denn ich glaube, bei 9 Bonbons und 9 Sorten gibt es ein paar Auswahlmöglichkeiten mehr als nur eine (9 über 9 ist gleich 1).
Mit sicherem Gruß
Martin
Ich bin für 12 über 3.
Zu diesem Ergebnis komme ich auch. Mein Ansatz ist etwas anders.
Das Problem reduziert sich auf folgende Gleichung:
A+B+C+D=9, wobei A,B,C,D ganze Zahlen größergleich Null sind.
Nun gibt es genau 4 geordnete Kombinationen, wobei genau 3 Zahlen gleich sind (0009),(1116),(2223),(3330). Macht pro Kombination 4 Möglichkeiten.
Weiterhin gibt es genau 11 dieser Kombinationen mit 2 gleichen Zahlen und 3 Kombinationen mit 4 verschiedenen Zahlen.
Also:
4*4 + 11*4*3 + 3*4! = 16+132+72 = 220
Gruß Frank
Falls jede Sorte mindestens einmal gewählt werden soll, dann gibt es auch genau eine Auswahlmöglichkeit. (bei 9 Bonbons und 9 Sorten)
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Falls jede Sorte mindestens einmal gewählt werden soll, dann
gibt es auch genau eine Auswahlmöglichkeit. (bei 9 Bonbons und
9 Sorten)
Von dieser Bedingung stand nichts in der Aufgabe, aber wenn sie zusätzlich erfüllt sein muß, dann gibt es in der Tat auch bei 9 Bonbons und 9 Sorten nur noch eine Auswahlmöglichkeit (wenn nicht, gibt es 17 über 8 = 24310 Möglichkeiten).
Das hängt davon, ob man auch eine Sorte doppelt nehmen kann.
Ist dies der Fall, so ist es 9 über 4 ==> 9-stufiges Zufallsexperiment mit „zurücklegen“, vier Sorten entsprechen 4 möglichen Ergebnissen einer Stufe.Somit gibt es also 262.144 Möglichkeiten…
Falls dies falsch sein sollte, so bitte ich um Korrektur
MiMa
Das hängt davon, ob man auch eine Sorte doppelt nehmen kann.
da es nur 4 Sorten gibt, man aber 9 Bonbons kaufen soll, müssen zwangsläufig einige Sorten doppelt vorkommen.
Ist dies der Fall, so ist es 9 über 4 ==> 9-stufiges
Zufallsexperiment mit „zurücklegen“, vier Sorten entsprechen 4
möglichen Ergebnissen einer Stufe.
(9 über 4) bedeutet doch „die Anzahl aller 4-elemtentigen Teilmengen aus einer 9-elementigen Vorratsmenge“. Hier ist es aber umgekehrt: Die Grundmenge hat nur 4 Elemente und daraus ist die Anzahl aller 9-elementigen Mengen zu bestimmen. (deren Elemente aus der 4er Grundmenge kommen)
Ich glaube am einfachsten ist es alle Kombinationen zusammenzuzählen, in denen jeweils 1,2,3 und 4 verschiedene Sorten vorkommen (so wie es, glaub ich, Jörg gemacht hat)
Gruß
OLIVER
Falls dies falsch sein sollte, so bitte ich um Korrektur
Wenn Du mein Posting „Re^2: …“ gelesen hast, weißt Du, daß „9 über 4“ falsch sein muß, und wenn Du Barbaras und Franks Postings gelesen hast, kannst Du Dich selbst korrigieren.
Gruß
Martin
Noch ein Versuch
Ist dies der Fall, so ist es 9 über 4 ==> 9-stufiges
Zufallsexperiment mit „zurücklegen“, vier Sorten entsprechen 4
möglichen Ergebnissen einer Stufe.Somit gibt es also 262.144
Möglichkeiten…
Fast.
(n über k) hat man bei Zufallsexperimenten OHNE Zurücklegen und OHNE Beachtung der Reihenfolge.
Standardbeispiel sind die Lottozahlen.
Die Formel ist schon richtig, nur n und k müssen anders gewählt werden.
Noch ein Gedankenexperiment dazu:
Stell Dir vor, vier Bonbontöpfe - je einer mit roten, blauen, grünen und gelben Bonbons - stehen aufgereiht auf einem Tisch.
Du stehst vor dem ersten Topf und machst Folgendes:
In jeder Sekunde nimmst Du entweder ein Bonbon aus dem aktuellen Topf ODER gehst einen Topf weiter.
Das machst Du, bis Du 9 Bonbons hast UND beim letzten Topf angelangt bist.
Dafür brauchst Du genau 12 Sekunden (9 zum Bonbons nehmen und 3 zum Weitergehen).
Nun ist nur die Frage, wie die 3 Weitergehsekunden auf die 12 Gesamtsekunden verteilt werden können, also wieviele Möglichkeiten es gibt, aus 12 Sekunden (oder aus 12 Lottozahlen) 3 auszuwählen.
Das macht 12 über 3.
P.S. Falls die Aufgabenstellung so gemeint ist, dass von jeder Farbe MINDESTENS EIN Bonbon zu wählen ist, dann stehen halt 4 Bonbons schon fest, und die restlichen 5 sind so wie oben frei wählbar. In dem Fall sinds dann eben 8 über 3 Möglichkeiten.
Es steht auch nichts davon in der Aufgabe, ob die Reihenfolge der gewählten Sorten von Interresse ist. (Bei Bonbons wohl eher nicht, aber wie ein Beispiel aus der Praxis sieht die Aufgabe für mich eigentlich nicht aus.)
Hätte ich meinem Mathe-Lehrer so eine Frage gestellt, er hätte sich an den Kopf gegriffen und mich gefragt, was er ohne Angaben denn überhaupt rechnen soll.
Von dieser Bedingung stand nichts in der Aufgabe,
…
Ich hab bei meiner Meldung auch nicht an einen Fehler in deiner Argumentation gedacht, sondern an die schwammige Aufgabenstellung.
g.g.
ps.: Ist die Frage doch praxisbezogen, so hätte ich genau zwei Lösungsmöglichkeiten gefunden:
Schritt 1:
Je ein Bonbon von jeder Sorte kaufen und probieren.
Schritt 2:
a) 5 Bonbons von der besten Sorte kaufen.
b) 3 Bonbons von der besten, 2 Bonbons von der zweitbesten Sorte kaufen. (Immer nur die selbe Sorte ist ja auch fad.)
Die Antwort von mir war dumm! Es sind 4 hoch 9! Es ist so, als ob du ein Zahlensystem mit der Zahlenbasis 4 hättest und die nimmst 9 Ziffern. (Beim ersten Zug in die Bonbon-Tüte hast du 4 Möglichkeiten, beim zweiten Mal auch, beim Dritten mal auch, … bis du 9 mal hineingegriffen hast und hast somit 9.9.9.9.9.9.9.9.9 Möglichkeiten)
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Die Antwort von mir war dumm! Es sind 4 hoch 9! Es ist so, als
ob du ein Zahlensystem mit der Zahlenbasis 4 hättest und die
nimmst 9 Ziffern. (Beim ersten Zug in die Bonbon-Tüte hast du
4 Möglichkeiten, beim zweiten Mal auch, beim Dritten mal auch,
… bis du 9 mal hineingegriffen hast und hast somit
9.9.9.9.9.9.9.9.9 Möglichkeiten)
Im Prinzip ja, ABER nur dann, wenn Dir die Reihenfolge der Bonbons wichtig ist, wenn also die Bonbonfolge
RWWWWWWWW für Dich eine andere ist als WWWWWWWWR
(R sei ein rotes, W ein weißes Bonbon).
Wenn Dich nur unterschiedliche MENGEN von Bonbons interessieren, ohne Beachtung der Reihenfolge des Ziehens, dann musst Du noch eine ganze Masse rauskürzen.