Hallo Leute, habe wiedereinmal ein Problem:
a= 2^{n} - 1, n\in \mathbb N und n\geq 4
Wie kann ich jetzt zeigen, das a für gerade n keine Primzahl ist.
Reicht es wenn ich da einfach ein Beispiel bringe?
Danke schonmal für eure Hilfe.
lg
a= 2^{n} - 1,
n\in \mathbb N und
n\geq 4
Wie kann ich jetzt zeigen, das a für gerade n keine Primzahl
ist.
Reicht es wenn ich da einfach ein Beispiel bringe?
Hallo,
nein das reicht nicht, denn du willst es ja für alle geraden n≥4 zeigen.
Am besten geht das mit vollständiger Induktion über k wenn n=2k ist.
Noch ein Tipp: Alle solche Zahlen sind durch 3 teilbar.
Gruß
hendrik
Hallo,
nein das reicht nicht, denn du willst es ja für alle
geraden n≥4 zeigen.
Das stimmt.
Am besten geht das mit vollständiger Induktion über k wenn
n=2k ist.
Es geht einfacher, wenn man nicht gerade die vollständige Induktion üben möchte. Wenn schon 2^{2k}-1 (n soll ja gerade sein) da steht, dann ist man mit dem Binom a^2-b^2=(a+b)(a-b) sofort fertig.
Gruß
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also mit der vollständigen induktion wäre ich am ende doch dann bei a= 4^k -1 .Kann man das für diesen Rechenweg so gelten lassen oder wäre es doch eleganter es so zu lösen wie mein vorgänger?
danke schonmal bis hierher =)
also mit der vollständigen induktion wäre ich am ende doch
dann bei a= 4^k -1 .
Hallo,
bei der vollständigen Induktion wäre die Induktionsbehauptung:
22k-1 ist für alle k≥2 durch 3 teilbar.
Der Induktionsanfang wäre dann bei k=2:
24-1=15 ist durch 3 teilbar.
Dann der Induktionsschritt:
22(k+1)-1=4⋅22k-1=3⋅22k+22k-1
Der erste Summand ist offensichtlich durch 3 teilbar, und der Rest ist nach Induktionsannahme auch durch 3 teilbar.
Gruß
hendrik