Hallo zusammen,
Was mag a^i sein?
Ich meine, es gilt
a^i = e^(i*ln(a))
zumindest für positive a
Schöne Grüße
JoKu
e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)
Ich weiß aber nicht, ob das die gewünschte Lösung ist.
mfg,
Ché Netzer
e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)
Ich weiß aber nicht, ob das die gewünschte Lösung ist.
Nein. Das war nicht gemeint.
mfg,
JK
e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)
Ich weiß aber nicht, ob das die gewünschte Lösung ist.Nein. Das war nicht gemeint.
Was war denn dann gemeint ? Wenn du mit i die imaginäre Einheit meinst, dann gilt
a^i=e^{i\ln(a)}=\cos(\ln(a))+i\sin(\ln(a))
Eine andere Lösung gibts da nicht.
Gruß
hendrik
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Hossa 
Was mag a^i sein?
Nehmen wir an, a sei irgendeine komplexe Zahl. Dann gibt es dafür eine Polardarstellung:
a=r,e^{i\varphi}
Das kannst du nun leicht „hoch i“ nehmen:
\left(r,e^{i\varphi}\right)^i=r^i,e^{i^2\varphi}=r^i,e^{-\varphi}
a^i = e^(i*ln(a))
zumindest für positive a
r ist in der Polardarstellung der Abstand des komplexwertigen Punktes vom Koordinatenursprung und daher größer gleich Null. Also:
a^i=\left(r,e^{i\varphi}\right)^i=e^{i,\ln r},e^{-\varphi}=\cos(\ln r),e^{-\varphi}+i,\sin(\ln r),e^{-\varphi}
Beispiel:
i^i\Longrightarrow r=1,\varphi=\frac{\pi}{2}\Longrightarrow i^i=e^{-\pi/2}
Viele Grüße
Hasenfuß
Was mag a^i sein?
gemeint war zunächst
a: eine Reelle Zahl
i: die imaginäre Einheit
dafür galt meine Vermutung a^i = e^(i*ln(a))
Danke für die allgemeinere Lösung.
Viele Grüße
JK
Ja, das war gemeint.
Was war denn dann gemeint ? Wenn du mit i die imaginäre
Einheit meinst, dann gilta^i=e^{i\ln(a)}=\cos(\ln(a))+i\sin(\ln(a))
Danke!
Gruß
JK
a=r,e^{i\varphi}
Das kannst du nun leicht „hoch i“ nehmen:
\left(r,e^{i\varphi}\right)^i=r^i,e^{i^2\varphi}=r^i,e^{-\varphi}
Ich hab ja schon drauf gewartet, dass diese Antwort kommt.
Dieses Potenzgesetz gibt es bei komplexen Zahlen nicht.
Das bedeutet
\left(x^y\right)^z=x^{yz}
gilt im Allgemeinen nicht. Man kann sich auch ganz leicht Gegenbeispiele überlegen.
Gruß
hendrik
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Ich hab ja schon drauf gewartet, dass diese Antwort kommt.
Dieses Potenzgesetz gibt es bei komplexen Zahlen nicht.
Das bedeutet
\left(x^y\right)^z=x^{yz}
gilt im Allgemeinen nicht. Man kann sich auch ganz leicht
Gegenbeispiele überlegen.Gruß
hendrik
Hi Hendrik,
schreib doch bitte mal ein Gegenbeispiel!
Danke.
enricoernesto
Statt Hendrik:
was soll a^i eigentlich bedeuten? Gilt mit a^i=b auch b^i=a^(i*i)=a^(-1)?
Denn dann ist wegen 1=e^(i*2k\pi), der Periodizität der Exponentialfunktion, auch 1^i=e^(-2k\pi) für beliebige ganzzahlige Werte von k, und das sollte einem schon etwas absurd vorkommen.
Gruß Lutz
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Die vollständige Umformung ergibt hier aber, mit der Vieldeutigkeit des komplexen Logarithmus, d.h.
a=\exp(\ln(a))=\exp(\ln(a)+i,2k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}
jede der Zahlen
a^i=e^{i,(\ln(a)+i,2k\pi)}=e^{-2k\pi},(\cos(\ln(a))+i\sin(\ln(a)),\quad k\in\mathbb{Z}
als Ergebnis.
Gruß Lutz
Denn dann ist wegen 1=e^(i*2k\pi), der Periodizität der
Exponentialfunktion, auch 1^i=e^(-2k\pi) für beliebige
ganzzahlige Werte von k, und das sollte einem schon etwas
absurd vorkommen.
Hallo Lutz,
genau das wäre so ein Gegenbeispiel. Hier nochmal das ganze in LaTeX.
1=1^i=\left(e^{2\pi i}\right)^i\neq e^{-2\pi}
Gruß
hendrik
1 Like
Ich hätte gar nicht gedacht, dass ich hier mit einer Frage,
die während einer langweiligen Besprechung einem Ingenieurshirn entsprungen ist,
etwas so Langes lostrete.
Gruß JoKu
Hossa Hendrik
\left(r,e^{i\varphi}\right)^i=r^i,e^{i^2\varphi}=r^i,e^{-\varphi}
Dieses Potenzgesetz gibt es bei komplexen Zahlen nicht.
Selbstverständlich gibt es dieses Potenzgesetz bei komplexen Zahlen. Das Ergebnis ist auf Grund der Periodizität jedoch mehrdeutig. Daher habe ich auch nur den Hauptwert des Arguments genommen. Und es macht auch durchaus Sinn, komplexwertige Exponenten, wie etwa „hoch i“ zu betrachten.
Hier mal eine ausführliche Betrachtung dazu:
Gegeben seien zwei komplexe Zahlen z1 und z2. Die eine gebe ich in Polardarstellung (diesmal nicht nur den Hauptwert) an, die andere in Real-Imag-Schreibweise:
z_1=\left|z_1\right|e^{i\left(\varphi+k\cdot2\pi\right)}\quad;\quad z_2=a+i,b
k ist darin irgendeine ganze Zahl. Nun kann ich die Potenz berechnen:
z_1^{z_2}=\left[\left|z_1\right|e^{i\left(\varphi+k\cdot2\pi\right)}\right]^{a+i,b}=\left|z_1\right|^a\cdot\left|z_1\right|^{i,b}\cdot e^{i\left(\varphi+k\cdot2\pi\right),a}\cdot e^{i^2\left(\varphi+k\cdot2\pi\right),b}
z_1^{z_2}=\left[\left|z_1\right|^a,e^{-b\left(\varphi+k\cdot2\pi\right)}\right]e^{i\left[a\left(\varphi+k\cdot2\pi\right)+b,\ln\left|z_1\right|\right]}
Speziell der Exponent „i“ ergibt sich für a=0 und b=1:
z_1^i=e^{-\left(\varphi+k\cdot2\pi\right)},e^{i,\ln\left|z_1\right|}
Oder im Falle des Hauptwertes (k=0):
z_1^i=e^{i,\ln\left|z_1\right|},e^{-\varphi}=\left|z_1\right|^i,e^{-\varphi}
Das Gegenbeispiel, das du in einem Posting weiter unten bringst:
1=1^i=\left(e^{i,2\pi}\right)^i\not=e^{-2\pi}
basiert genau auf dem Effekt der Mehrdeutigkeit. Nimmst du hier den Hauptwert, stimmt alles:
1=1^i=\left(e^{i,0}\right)^i=e^0
wolframalpha liefert mit Hilfe der floor-Funktion sogar eine allgemeingültige alternative Berechnungsformel:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28r*e^%28i*phi…
Viele Grüße
Hasenfuß