A(s) in t(s) umformen

Hallo!

Ich möchte eine Formel herleiten, mit welcher man sich berechnen kann wie viel Zeit 2 Körper mit der Masse m1 und m2 die sich aufgrund ihrer Gravitationskräfte zueinander zu bewegen für eine bestimmte Strecke benötigen. (z.B.: Wie lange dauert es bis sie sich berühren?)

Ich habs schon mehrere Male versucht, aber noch nie hinbekommen.

Mein Ansatz:

F=G*m1*m2/r^2

r ist der Abstand zwischen den Körpern und somit auch die Summe der Teilstrecken, welche beide Körper zurücklegen.

Ich habe es jedoch immer nur als eine einzige Translation eines Körpers betrachtet, welcher sich aus der Summe der Einzelgeschwindigkeiten der 2 Körper ergibt.

rAnfang=rEnde+s
s=s1+s2
v(s)=v1(s)+v2(s)
a(s)=a1(s)+a2(s)

rAnfang … Abstand der Körper am Anfang
rEnde … Abstand der Körper am Ende
s1 … der vom Körper1 zurückgelegte Weg
s2 … der vom Körper2 zurückgelegte Weg
s … der Abstand am Ende ist um s Kleiner als der Abstand am Anfang

Außerdem habe ich statt r rAnfang-s eingesetzt, weil die Abhängigkeit von s gesucht ist.

F=G*m1*m2/(rAnfang-s)^2

Wenn sich die Körper berühren gilt:
s=rAnfang
r=0

Am Anfang gilt:
s=0
r=rAnfang

Jetzt komme ich nicht mehr weiter weil mir die Mathematik und das Verständnis dazu fehlt. Das muss man doch irgendwie mit Integral- und Differentialrechnung hinbekommen. Aber wie?

Danke im Voraus
MfG
Markus Steiner

Der Titel ist nicht sehr aussagekräftig; aber beim Lesen kann man die Fragestellung erahnen, wenn auch die Bezeichnung der Unbekannten etwas rätselhaft bleibt. Ich habe, obwohl Rentner, i.A. keine Zeit + Lust, das nicht ganz triviale Problem für dich zu lösen. Aber ich kann dir Tips geben, sozusagen Hilfe zur Selbsthilfe.
Wenn du die Lösung nicht in Wikipedia o.ä. schnell finden kannst, überlege folgendes:
1.Die beiden Massen sollen wohl frei im Weltall schweben und keine weiteren Massen in der Nähe sein?
2.Dann kannst du das Gravitationsgesetz anwenden und das Newtonsche Grundgesetz
Kraft = Masse x Beschleunigung,
um die Anziehungskraft in Beschleunigung umzurechnen. Weiterhin mußt du beachten, daß der Abstand sich in Bewegung lfd. verändert. Damit kannst du die Bewegung der beiden Massen aufeinander zu als 2 Differentialgleichungen schreiben:
Beschleun1 = G*m2/(rAnfang-Weg1)^2
Beschleun2 = G*m2/(rAnfang-Weg2)^2
Wenn du die nach dem zeitlichen Verlauf des Weges von m1 und m2 aufgelöst hast - evtl. durch 2-maliges Integrieren,- kannst du daraus die Position der beiden Massen zu jedem Zeitpkt berechnen. Wenn sie übereinstimmt, hast du den Zeitpkt.
Gruß!
Friedrich

Hallo!

Ich hatte mich auf ähnliche Weise an der Lösung versucht wie von Dir skizziert. Ganz so einfach wie es auf den ersten Blick erscheint, ist es nämlich doch nicht.

Ich habe die Koordinaten x1 und x2 im Schwerpunktsystem verwendet. Das ist ohne Beschränkung der Allgemeinheit möglich. Das Problem ist dann vollkommen symmetrisch und es reicht, eine Lösung für x1(t) anzugeben.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, komme ich auf eine Differenzialgleichung der Gestalt

x(t)’’ = A / x(t)²

A ist eine Konstante, die von G, m1 und m2 abhängt, ich glaube es war

A = G m2/(m2/m1-1)²

aber nagle mich darauf nicht fest.

Und da war ich mit meinem Latein am Ende. Ich habe es mit Excel simuliert. Was rauskommt, sieht zumindest auf den ersten Blick nicht „einfach“ aus.

Irgendwie ist es ja auch logisch: Die „Bahnkurve“ muss ja eine entartete Keppler-Ellipse sein (wobei die Geschwindigkeiten, Kräfte und Beschleunigungen in der klassischen Mechanik für r=0 unendlich werden).

Michael

Hallo Michael,

Ganz so einfach wie es auf den ersten Blick erscheint, ist es
nämlich doch nicht.

es ist machbar, allerdings muss man sich am Schluss mit einer impliziten Lösung zufriedengeben.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, komme ich auf eine
Differenzialgleichung der Gestalt

x(t)’’ = A / x(t)²

Genau. Ich stell die Bewegungsgleichung mal in dieser Form dar:

\frac{d^2}{dt^2} r = -k \frac{1}{r^2}

Meine Konstante k ist positiv und mit dem Minuszeichen drücke ich die anziehende Wirkung der Massen aus (Beschleunigungsvektor antiparallel zum Abstandsvektor). Im Falle einer sehr leichten Probemasse m und einer demgegenüber sehr schweren Masse M hat k den Wert γM. Das folgt unmittelbar aus dem Gravitationsgesetz.

Nun zur Bewegungsgleichung. Sie hat die Ordnung 2, aber wenn man sie via

\frac{d^2}{dt^2} r = v \frac{d}{dr} v

erstmal in eine solche der Ordnung 1 überführt, dann lässt sich diese durch Integration mit Separation der Variablen lösen, und auf die sich daraus ergebende DG erster Ordnung für r trifft dasselbe zu.

Obiger Reduktion-der-Ordnung-Ansatz plus anschließende Trennung der Variablen führt auf

v :dv = -k \frac{1}{r^2} :dr

und der Integration mit den anfangsbedingung-entsprechenden Grenzen (m möge an der Position r_0 aus der Ruhe starten) steht nichts mehr im Weg:

\int_{0}^{v} v’ :dv’ = -k \int_{r_0}^{r} \frac{1}{r’^2} :dr’

Die Stammfunktionen sind klar und die Zwischenschritte einfach, deshalb gleich das Ergebnis:

v® = -u \sqrt{\frac{r_0}{r} - 1}
\quad\quad\textnormal{mit}\quad
u := \sqrt{\frac{2k}{r_0}}

u ist die natürliche Geschwindigkeitseinheit des Problems. Wie man sich fix überlegen kann, hat die Probemasse m gerade dann u erreicht, wenn sie ihren Abstand zu M halbiert hat.

Die zweite zu lösende DG wäre damit

\frac{dr}{dt} = -u \sqrt{\frac{r_0}{r} - 1}

was nach Trennung der Variablen so aussieht:

\sqrt{\frac{r}{r_0-r}} :dr = -u :dt

Die nun anstehende Aufgabe lautet also:

\int_{r_0}^{r} \sqrt{\frac{r’}{r_0-r’}} :dr’ = -u \int_0^t dt’

Die Stammfunktion zu \sqrt{\frac{x}{a-x}} ist etwas „ungesund“, nämlich

-\sqrt{x(a-x)} + a \arctan\sqrt{\frac{x}{a-x}}

Die Auswertung der Integrale führt auf das Ergebnis:

t(\rho)
= \frac{r_0}{u}
\Big(\sqrt{\rho (1 - \rho)}

  • \arctan\sqrt{\frac{\rho}{1-\rho}}
  • \frac{\pi}{2}
    \Big)
    \quad\quad\textnormal{mit}\quad
    \rho := \frac{r}{r_0}

Das ist die erwähnte implizite Lösung der Bewegungsgleichung. Die Invertierung der Funktion t(ρ) zu ρ(t) wäre natürlich das Sahnehäubchen, aber das lässt der Term leider nicht zu.

Erfreulicherweise ist es aber leicht, damit die Zeit t_0 auszurechnen, die die Masse bis zum Erreichen des Ursprungs benötigt. Dazu muss man nur ρ gleich Null setzen. Dadurch verschwinden √ρ(1 – ρ) sowie der arctan und nur π/2 bleibt übrig:

t_0
= t(0)
= \frac{r_0}{u} \frac{\pi}{2}
= \frac{\pi}{2} \frac{r_0}{\sqrt{\frac{2k}{r_0}}}
= \frac{\pi}{2} \sqrt\frac{r_0^3}{2k}

Daraus resultiert als alternative Form der Lösung:

t(\rho)
= t_0
\Big(\frac{2}{\pi} \sqrt{\rho (1 - \rho)}

  • \frac{2}{\pi} \arctan\sqrt{\frac{\rho}{1-\rho}}
  • 1
    \Big)

Man kann sich auch vorstellen, dass die Masse M eine passende Bohrung hat, so dass sie von der Masse m ungehindert durchquert werden kann. Dann vollführt m eine (nichtharmonische) Schwingung mit der Periodendauer

T
= 4 t_0
= 2 \pi \sqrt\frac{r_0^3}{2k}
= \pi \sqrt\frac{2 r_0^3}{k}

Ich habe mal interessehalber t0 für eine Masse in der Größenordnung eines Autos (M = 1000 kg) und einen Startabstand r0 = 10 m ausgerechnet und t0 ≈ 2.2 Tage herausbekommen.

Ich habe es mit Excel simuliert.

Kannst ja mal checken, ob die numerische und die analytische Lösung zusammenpassen.

Gruß
Martin

1 Like