Abbildungen einer endlichen Menge in sich

Wissenschaft Physik
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Hallo!

Sitze gerade vor dem Beweis des folgenden Satzes und komme einfach nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand von euch helfen.

Ist M eine endliche Menge und f:M->M eine Abbildung, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(1) f ist injektiv
(2) f ist surjektiv
(3) f ist bijektiv.

Meiner Meinung nach gilt doch (3)=>(1) und (3)=>(2) nach Definition, und wenn man (1)(2) gezeigt hat, gilt doch auch (1)=>(3) und (2)=>(3), oder täusche ich mich da?

In diesem Fall ist mein Problem also nur der Beweis von (1)(2). Habe es schon mal per Induktion über die Mächtigkeit von M probiert, aber komme leider nicht weit.

Vielen Dank schon mal.

Matthias

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Re Hallo!

(1) f ist injektiv
(2) f ist surjektiv
(3) f ist bijektiv.

Meiner Meinung nach gilt doch (3)=>(1) und (3)=>(2) nach
Definition, und wenn man (1)(2) gezeigt hat, gilt
doch auch (1)=>(3) und (2)=>(3), oder täusche ich mich
da?

Daß Du „(1)=>(3)“ und „(2)=>(3)“ nicht folgern kannst, siehst Du leicht, wenn Du Dir ein passendes und einfach zu durchschauendes Beispiel konstruierst. Ich hätte folgendes anzubieten (n sei eine Zahl):

(1) n ist durch 5 teilbar
(2) Die letzte Ziffer von n ist „0“ oder „5“
(3) n ist durch 15 teilbar

Hier gilt außer (3)=>(1) und (3)=>(2) auch (1)(2), aber die Implikationen „(1)=>(3)“ und „(2)=>(3)“ sind trotzdem falsch.

Mit freundlichem Gruß
Martin

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Aber kann man nicht in diesem speziellen Fall wie folgt schließen, wenn man (1)(2) gezeigt hat?

(1)=>(3)

Nach Voraussetzung ist f injektiv und wegen (1)(2) auch surjektiv. Nach Definition ist dann f bijektiv.

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Richtig. Das gilt aber halt nur in solchen Faellen, wo 1 und 2
=>3 gilt. ((1 und 1=>2) (=&gt:wink: (1 und 2) (=&gt:wink: 3.

Die benoetigten Aequivalenz zeigst Du leichter indirekt, d.h.
nicht 1 nicht 2. Das ist viel einfacher.

MFG
ein anderer Martin

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Genau so ist es !!

Denn:

Betrachtet man folgende Aussagen A1, A2 mit
A1: f ist injektiv
A2: f ist surjektiv
A1 und A2 : f ist bijektiv
so gilt folgende Wahrheitstafel

a1 a2 a1a2 a1 und a2
w w w w
w f f f
f w f f
f f w f

Hat man a1a2 bereits gezeigt, so kann f nur dann bijektiv
sein wenn a1 und a2 gilt. q.e.d.

Es gilt hier insbesondere (1) => (3) und (2) => (3)
allerdings immer nur für ENDLICHE Mengen.

Gruß Frank

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Hallo Mathias,
ich führe Dir den Beweis mit einer Methode vor , wie ich es in der Analysis-Vorlesung gelernt habe:
i)die Äquivalenz ist bewiesen , wenn der Ringschluß
(1)=>(2)=>(3)=>(1)bewiesen ist
ii)
Sei f injektiv,dann existiert eine Abbildung g mit der Eigenschaft g.f=id(M). Weil M gleichzeitig Urbild und Bildraum
ist, gilt dann auch f.g=id(M). Also ist f auch surjektiv.
iii)Sei f surjektiv, dann existiert eine Abbildung g mit der Eigenschaft f.g=id(M). Weil Weil M gleichzeitig Urbild und
Bildraum ist, gilt dann auch f.g=id(M).Also ist f bijektiv.
iv)Sei f bijektiv, dann ist f auch injektiv q.e.d.

Franz Schreiner

http://www.webfranz.de

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i)die Äquivalenz ist bewiesen , wenn der Ringschluß
(1)=>(2)=>(3)=>(1)bewiesen ist

Stimmt!

ii)
Sei f injektiv,dann existiert eine Abbildung g mit der
Eigenschaft g.f=id(M). Weil M gleichzeitig Urbild und Bildraum
ist, gilt dann auch f.g=id(M). Also ist f auch surjektiv.

Vorsicht, Du hast die Endlichkeit von M nicht gebraucht, d.h. der Beweis müsste strenggenomen für alle Mengen gelten, was nicht sein kann, wie Du weisst. Was Du folgern kann ist f.g=id(f). Das ergibt aber leider keine Surjektivität.

iii)Sei f surjektiv, dann existiert eine Abbildung g mit der
Eigenschaft f.g=id(M). Weil Weil M gleichzeitig Urbild und
Bildraum ist, gilt dann auch f.g=id(M).Also ist f bijektiv.

Ähnliches gilt hier.

iv)Sei f bijektiv, dann ist f auch injektiv q.e.d.

Genau! Per Definition.

Vieleicht hast Du Sätze benutzt, die Ihr in der Vorlesung speziell für endliche Mengen formuliert habt? Das würde den Beweis retten.

Achim