irgendwie steh ich gerade mal wieder auf dem Schlauch…
ich soll die Äquivalenz der folgenden Aussagen für eine nichtleere Teilmenge X zeigen…
a) es gibt eine Surjektion f: N nach X
b)…Injektion g: X nach N
N sind die natürlich en Zahlen
Muss ich da nicht einfach zeigen das es eine identische ABB. gibt?
Gruß
Hallo,
Muss ich da nicht einfach zeigen das es eine identische ABB. gibt?
Nein X muß ja weder eine Teilmenge von N sein, noch muß es gleichmächtig zu N sein. Bsp. X={a}. Def. f(n)=a für alle n aus N und z.B. g(a)=0 (für a => b).
a=>b: Nehmen wir an, es gibt eine Surjektion f von N nach X, also f(N)=X. Dann können wir ein injektives g: X -> N z.B. durch g(x)=min{n | f(n)=x } definieren. g ist injektiv, denn sei g(x)=g(y), d.h. a=min{n | f(n)=x }=min{n | f(n)=y }=b, also a=b mit f(a)=x und f(b)=y und damit x=f(a)=f(b)=y.
b=>a: Nebmen wir an, es gibt eine Injektion g: X -> N. Da g total ist, also dom(g)=X und injektiv, ist jedem Element aus X genau ein Element aus N zugeordnet. Bei der Konstruktion von f muß diese Beziehung berücksichtigt werden, bei den restlichen (N \ cod(g)) haben wir „Wahlfreiheit“. Eine Möglichkeit besteht z.B. darin, f als f(n)={x | g(x)=n} für alle n aus cod(g) und f(n)=0 für alle n aus N \ cod(g) zu wählen.
Gruss
Enno