Hallo Mathe- und Physikexperten,
ich stehe gerade vor einer schier unlösbaren Aufgabe.
Es geht darum, dass ein Fahrzeug von 40 m/s auf 20 m/s in 25 sec abbremsen soll, und zwar nur durch den Luftwiderstand. Das Kfz wiegt 800 kg. Gegeben ist weiterhin der Zusammenhang F = k * v².
Gesucht sind der Luftwiderstandsbeiwert k und die Strecke, die während der Verzögerung zurückgelegt wird.
Rollwiderstand etc. sind zu vernachlässigen!!!
Was mir noch klar ist: Es muss gelten:
F(t) = k * v(t)²
F(t) = m * a(t)
==> k * v(t)² = m * a(t)
Die ganze Geschichte riecht für mich arg nach DGL, und genau da hört dann auch meine mathematisch-physikalische Vorstellungskraft auf. Wie geht es ab hier weiter??? Kann man das auch simpler lösen? Denke ich zu kompliziert?
Für Hinweise oder Lösungsansätze bzw. Links oder Lösungen bin ich dankbar.
Hallo Guido,
hier nur mal ein Verfahren, wie eine DGL bewältigt werden kann
(„Trennung der Variablen“)
==> k * v(t)² = m * a(t)
Es ist ja
a(t) = dv(t) / dt
also
k * v^2 = m dv / dt
Man darf *symbolisch* umformen (daß das funktioniert, haben die Mathematiker zu beweisen):
k dt = m dv/ v^2
(d.h. die Differentiale habe ich über die Gleichung verteilt)
Jetzt integriere ich zwischen zwei Zuständen des Autos: links t1, t2 und
rechts v1, v2.
(Wichtig: die oberen Grenzen gehören zum selben Zustand, v1 gehört zu t1,
genauso wie v2 zu t2 gehört. Das sage ich, weil es immer wieder Diskussionen gibt über diese Integration)
\int^t1_t2 k dt = \int^v1_v2 m v^(-2) dv
(NB: \int^b_a steht für Integralzeichen mit obererer Grenze b und unterer Grenze a)
Ausrechnen:
k ( t1 - t2 ) = -m ( v1^(-1) - v2^(-1) )
löse nach v1 auf:
v1 = … (t1, v2, t2 )
(habe ich jetzt nicht gemacht)
Für die gesuchte Geschwindigkeitsfunktion v(t) ersetze symbolisch
v1 durch v(t)
t1 durch t
v2 durch v(0)
t2 durch 0
(man muß nicht t2 zu Null wählen, aber eine Anfangsgeschwindigkeit v2 braucht man schon…)
Ich hoffe, einiges aufgeklärt zu haben,
frag nach…
ergänzend zu Stefans AUsführungen hilft Dir vielleicht,
daß die Gleichung a(t)=v’(t) = k/m * v²(t) eine nichtlineare DGL erster Ordnung ist, deren Lösung v(t) = - m/k*t ist.