Ich bereite mich gerade auf einem Multiple Choice Test vor (ich muss also sagen, ob eine Aussage wahr oder falsch ist).
Es geht hier um folgendes:
X abgeschlossen, Y eine echte, nichtleere Teilmenge von X, Y offen
X \ Y ist wieder abgeschlossen
Ist die Aussage wahr oder falsch?
Ich habe versucht, das auf die Definition zurückzuführen, indem ich mich an der Definition vom Rand herangehangelt habe.
Eine Menge Z ohne den Rand Z ist offen, eine Menge Z inklusive Rand ist abgeschlossen,
der Rand selbst ist auch abgeschlossen.
Genau ist da leider mein Problem, die MultipleChoice Aufgabe kann ich nicht darauf zurückführen.
Mein Bauchgefühl sagt mir aber, dass sie eigentlich gelten muss.
Kann mir da wer helfen?
Mir würde schon reichen, wenn ihr mir vorgebt, ob die Aussage wahr oder falsch ist, aber wenn ihr mir noch eine Begründung gebt, lerne ich auch noch etwas.
X abgeschlossen, Y eine echte, nichtleere Teilmenge von X, Y
offen
X \ Y ist wieder abgeschlossen
Ist die Aussage wahr oder falsch?
Warst schon dicht dran, auf jeden Fall ist die Aussagen richtig, denn
sei x aus dem Abschluss von X\Y. Annahme: x ist kein Element von X\Y. Dann muss x aus Y sein. Dann existiert aber ein reelles r > 0, dass die Umgebung von x mit Radius r komplett in Y liegt. Dann ist der Schnitt der Umgebung von x mit X\Y aber leer => Widerspruch.
Im ersten posting hast du gefragt: X abg. Y offen, X\Y? Antwort: abg.
Dann hast du gefragt: X offen, Y?, X\Y?.
Da ich nicht wusste ob du nun Y wieder offen betrachtetn haben wolltest oder den allgemeinen Fall, hab ich den allgemeinen Fall behandelt. Antwort: X offen, Y abg. => X\Y offen; X offen, Y offen => X\Y nicht offen, aber nicht notwendigerweise abg.
Mist, Y hatte ich vergessen. Ist mir jetzt ein bisschen peinlich, aber
Klarer?
Ja, alles klar, gut, dass ich es vergessen hatte, das aufzuschreiben. Das hilft mir sehr weiter und das Thema ist mir noch irgendwie ein bisschen fremd. Ganz besonders, wenn ich zu vorschnell bin. Danke dir für die super Antworten.
