Abgeschlossen und beschränkt, aber nicht kompakt

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
also es handelt sich um den normierten Raum X aller konvergenter Folgen in R mit der Maximumsnorm.
Nehme ich folgende folgen e_j=(d_j)_n ((d_j)_n ist Kronecker-Delta), dann ist die Menge A={e_j:j aus N} beschränkt durch 1. Das ist klar.

Aber warum ist A abgeschlossen? Meiner Meinung nach liegt doch die Nullfolge gar nicht in A, aber jedes e_j konvergiert doch gegen die Nullfolge, oder?

Und wie kann man einsehen, dass eine Folge existiert, die keine konvergente Teilfolge besitzt?

Vielen Dank
Tim

#2

Aber warum ist A abgeschlossen? Meiner Meinung nach liegt doch
die Nullfolge gar nicht in A, aber jedes e_j konvergiert doch
gegen die Nullfolge, oder?

Hallo,

Die Folgen ej konvergieren alle gegen 0, nicht gegen die Nullfolge.
Zwei verschiedene Folgen ei und ej haben als Abstand die Norm der Differenz der beiden Folgen. Mit der Maximumsnorm ist das 1. Das bedeutet, um jede Folge aus A gibt es eine Umgebung in der keine weitere Folge aus A drin liegt. Damit liegt jede Folge aus A auf dem Rand von A, deshalb ist A abgeschlossen.
Warum der Satz von Heine Borel hier nicht gilt, liegt daran, dass der Raum der konvergenten Folgen unendlich dimensional ist.

Gruß

hendrik

#3

Hallo,
jetzt hab ich verstanden, warum A abgeschlossen ist.

Aber warum ist die Menge nicht kompakt?
Man müsste doch einfach eine Folge in A angeben, die keine konvergente Teilfolge besitzt.
Kann man die konkret angeben?

Vielen Dank

#4

Aber warum ist die Menge nicht kompakt?
Man müsste doch einfach eine Folge in A angeben, die keine
konvergente Teilfolge besitzt.
Kann man die konkret angeben?

Hallo,

also nur nochmal um sicher zu gehen, dass wir über denselben Raum sprechen:
X ist der Raum der in R konvergenten Folgen.
ej sind die Folgen

e_j=\left(\delta_{jn}\right)_{n\in\mathbb{N}}

Das bedeutet

e_{j_n}=\begin{cases}1 & ,n=j\0 & , sonst\end{cases}

A ist die Menge

A={e_j\vert j\in\mathbb{N}}

Ohne Zweifel sind alle ej konvergent mit Grenzwert 0, deshalb ist A eine Teilmenge von X.
Jetzt gibts da noch die Maximumsnorm auf X.

\Vert\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\Vert=\max\limits_{n\in\mathbb{N}}\vert a_n\vert

Damit gilt für alle Folgen aus A

\Vert e_j\Vert=1

weshalb A beschränkt ist.
Die Norm impliziert außerdem eine Metrik auf X, also einen Abstand zwischen verschiedenen Folgen.

d\left(\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\right)=\Vert\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}-\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\Vert=\max\limits_{n\in\mathbb{N}}\vert a_n-b_n\vert

Damit haben je zwei verschiedene Folgen aus A den Abstand 1, und deshalb ist A abgeschlossen.

Jetzt betrachte die Folge aller Elemente aus A (eine Folge aus Folgen).

\left(e_j\right)_{j\in\mathbb{N}}

Da je zwei verschiedene Folgenglieder dieser Folge den Abstand 1 haben, kann es keine konvergente Teilfolge geben, und deshalb ist A nicht kompakt.

Gruß

hendrik