Abgeschlossene ein-elementige Menge. Nachweis

Wissenschaft Physik
#1

Hallo.
Wenn ich eine einelementige Menge habe, wie kann ich nachweisen, dass die abgeschlossen ist? Trivial will ich nämlich nicht gelten lassen. :wink:

Danke
McMike

#2

Wenn ich eine einelementige Menge habe, wie kann ich
nachweisen, dass die abgeschlossen ist? Trivial will ich
nämlich nicht gelten lassen.

Genauso wie für jede anderen Menge M: Du zeigst, dass der Grenzwert jeder konvergierenden Folge von Elementen aus M ebenfalls in M liegt. Da hier M ja nur ein Element hat, muss man ja nicht allzu viele Folgen untersuchen…

Gruß
Oliver

#3

Also die Menge A={a}
an aus {a}
lim inf an = lim sup an = a
=> Behauptung

  1. Frage
    Ist das Richtig?

  2. Frage
    In welchem Fall benutzt man denn mehrere Folgen? Ich kenne das wohl so, dass man eine Teilfolge nimmt, oder wenn man bei zwei Mengen die Vereinigung betrachtet, dass man sich dann eine Folge aus der einen Menge und eine Folge aus der anderen Menge herausnimmt
    Aber wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, gibt es Fälle, wo ich aus einer Menge mehrere Folgen (Keine Teilfolgen) nehme, um Abgeschlossenheit nachzuweisen? Oder habe ich dich da falsch verstanden? Ich möchte dir ja nix unterstellen

Danke
McMike

#4

Also die Menge A={a}
an aus {a}
lim inf an = lim sup an = a
=> Behauptung

Eher so:
sei (a)n konvergierende Folge mit an aus A => lim an liegt in A

  1. Frage
    In welchem Fall benutzt man denn mehrere Folgen?

Man muss es für alle konvergierenden Folgen zeigen.

Gruß
Oliver

#5

Hallo nochmal,

Um die Sache nochmal kurz zu erläutern. Es gibt ja verschiedene Kriterien für Abgeschlossenheit. Eine davon lautet:

Sei X ein metrischer Raum und M eine Teilmenge von X. M heißt abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder Folge von Elementen aus M, die in X konvergiert, ebenfalls in M liegt.

Besitzt die Menge nur das Element s, also M={s}, lässt sich daraus ja nur die konstante Folge an = s konstruieren, die trivialer Weise gegen s ∈ M konvergiert. Somit liegt der Grenzwert jeder Folge (nämlich der einen) wieder in M. M ist also abgeschlossen.

Wenn M nun mehr als ein Element enthält, gibt es natürlich unendlich viele Möglichkeiten, daraus eine konvergierende Folge zu bilden, so dass man natürlich nicht jede dieser möglichen Folgen untersuchen kann. Hier muss man dann entweder Argumente benutzen, die für alle Folgen gültig sind oder auf ein anderes Kriterum umschwenken (man könnte z.B. zeigen, dass das Komplement offen ist). Aber hier geht es zum Glück einfacher.

Gruß
Oliver