Hallo,
ist die Menge der natürlichen Zahlen eigentlich abgeschlossen? Immerhin ist doch jede Cauchyfolge in N konvergent!
Gruß
OLIVER
Hi Oliver!
ist die Menge der natürlichen Zahlen eigentlich abgeschlossen?
Mengen auf offen- oder abgeschlossenheit zu prüfen macht erstmal nur Sinn, wenn du angibst, _worin_ sie diese Eigenschaft besitzen sollen und mit welcher Metrik.
Wahrscheinlich willst du es aber in R mit der eukl. Metrik haben, oder?
(Denn in N selber ist N offen und abgeschlossen bez. jeder Metrik.)
Immerhin ist doch jede Cauchyfolge in N konvergent!
Nein. die Aussage, daß ein metr. Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergent ist auch abgeschlossen ist, stimmt zwar, aber:
Es geht um den Grenzwert der Folgenwerte, die nicht notwendig aus N sein müssen.
Zum Beispiel ist (1/n) eine Folge über R und g: N->R, n->1/n. Die Folge ist eine Cauchy-Folge un in R auch konvergent, aber das hat nichts mit N zu tun.
Konstruierst du eine Folge über N, so ist diese ja auch nur konvergant, wenn sie konstant ist (h:N->N, n->a), und dann hast du tatsächlich gezeigt, daß {a} abgeschlossen ist.
Zwar gilt das auch für jeden Punkt, aber die Vereinigung abg. Mengen ist nur abg., wenn es sich dabei um eine endliche Vereinigung handelt, was bei N aber nicht der Fall ist.
Gruß
Tyll
Hallo,
ist die Menge der natürlichen Zahlen eigentlich abgeschlossen?
Immerhin ist doch jede Cauchyfolge in N konvergent!Gruß
OLIVER
Jeder topologische Raum ist als ganzes abgeschlossen. Was Du meinst, ist die Vollstaendigkeit, und ja, rein formal ist N vollstaendig. Nur was bringt das?
Ciao Lutz