Abkühlverhalten

[boosianer]

Hi Experten,

ich musste gerade feststellen, dass meine Mathe-Kenntnisse doch arg eingerostet sind.

Folgendes Problem:
Ich habe einen Körper A, dem durch Erhitzen eine bestimmte Wärme-Energie zugefügt wurde. Dieser Körper ist vollständig von einem zweiten Körper G (=Gehäuse) umschlossen. In der Abkühlphase gibt Körper A die aufgenommene Energie an Körper G ab. Körper G wiederum gibt die von A erhaltene Energie an die Umgebung ab.

Das Abkühlverhalten beider Körper ist mir als Näherungsformel bekannt. Ich muss die zeitliche Energiebilanz (sprich: welche Energie hat Körper G zum Zeitpunkt t) berechnen.

Klingt irgendwie nach Differenzialgleichungen… wie war das denn noch mal?

Es wäre schön, wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Gruß
Uwe

[boosianer]

Ergänzung
Zur Ergänzung: Das Abkühlverhalten der beiden Körper ist als Zeitfunktion der Energie beschrieben.

E(t)= A * (1+B*t)^(-1/3) - C

oder (um es wenigstens etwas übersichtlicher zu gestalten)

 A
E(t) = ----------------- - C
 (1 + B\*t )^1/3

[Ahmet_Guendogdu]

es waer vielleicht hilfreicher, wenn du die konstanten A B und C erlaeutern wuerdest.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[boosianer]

Hmmm… tja, was kann ich daran erläutern? Ich verstehe ehrich gesagt die Frage nicht. Konstanten halt mit festen Werten. Welche Werte das genau sind, spielt doch erst mal für die grundsätzliche Lösung des Problems keine Rolle, oder sehe ich das falsch?

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[boosianer]

Doch so schwer?
Und ich dachte, diese Aufgabe wäre für einen Mathe- oder Physikstudenten einfach.
Oder ist sie vielleicht doch zu trivial, um einer Antwort würdig zu sein?

[Anonym_dccfd98ba8f6]

Moin,

Zur Ergänzung: Das Abkühlverhalten der beiden Körper ist als
Zeitfunktion der Energie beschrieben.

A
E(t) = ----------------- - C
(1 + B*t )^1/3

In deinem ersten Posting schreibst du noch, daß dieses E(t) berechnet werden soll. Das heißt, du hast die Lösung schon. Was ist also das Problem? Oder vielleicht solltest du die Aufgabe noch mal etwas anders stellen…

Gruß

Kubi

[boosianer]

Hi Kubi,

das Problem ist folgendes: Mir ist zwar das Abkühlverhalten der beiden Körper bekannt, aber der äußere Körper wird vom inneren Körper aufgewärmt. Während der äußere Körper also abkühlt, erhält er neue Energie vom inneren Körper.
Die angegebene Formel beschreibt nur das Energieverhalten, wenn keine neue Energie hinzugefügt wird.

Gruß
Uwe

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Anonym_dccfd98ba8f6]

Tach,

irgendwie ist das alles sehr seltsam. Abkühlgleichungen operieren üblicherweise mit Temperaturen, nicht mit Energien. Zudsem wird nicht so recht klar, ob Deine Gleichungen die Energie zum Zeitpunkt t darstellen sollen (dann hättest Du Deine Lösung tatsächlich schon), oder die Energieabgabe - dann wäre die Lösung das Integral über die Differenz beider Gleichungen. Woher stammt die Gleichung (davon ab bezweifle ich, daß beide Körper mit dem gleichen Satz Konstanten arbeiten, denn dann lieferten sie ja immer gleiche Energien, was laut Voraussetzung nicht sein kann).

Ein paar weitere Informationen wären also nicht schlecht.

Gruß

Kubi

[boosianer]

Hi Kubi,

erst mal schönen Dank, dass Du Dich mit meinem Problem näher beschäftigst!

Tach,

irgendwie ist das alles sehr seltsam. Abkühlgleichungen
operieren üblicherweise mit Temperaturen, nicht mit Energien.

Mag sein, ich habe keine grundlegende Ahnung von der Materie.

Ich kann schon nachvollziehen, dass eigentlich mit Temperaturen gearbeitet werden muss. Wenn zwei gleich große Körper mit der gleichen Masse und der gleichen Temperatur nebeneinander liegen, der eine Körper aber eine höhere spezifische Wärme hat, hat er natürlich auch mehr Energie gespeichert. Da es aber keinen Temperaturunterschied gibt, wird auch keine Energie übertragen.

Aber die Formeln, die ich habe, sind nur Näherungsformeln, die auch nur für ganz bestimmte Bedingungen (Umgebungstemperatur etc.) gelten. Ist es unter diesen Umständen nicht egal, ob man die Energie oder die Temperatur betrachtet? Ist die Temperatur dabei nicht näherungsweise proportional zur Energie?

Zudsem wird nicht so recht klar, ob Deine Gleichungen die
Energie zum Zeitpunkt t darstellen sollen

ja, aber eben nur unter der Bedingung, dass keine weitere Energie hinzugefügt wird. Das ist zwar für den inneren Körper der Fall, aber nicht für den äußeren. Der nimmt ja die vom inneren Körper abgegebene Energie auf.

dann hättest Du Deine Lösung tatsächlich schon), oder die :Energieabgabe - dann
wäre die Lösung das Integral über die Differenz beider
Gleichungen.

Aha! Jetzt kommen wir der Sache näher. Mir ist bloß nicht ganz klar, wie ich da ran gehen muss.
Also nochmal: Differenz der beiden Gleichung bilden, und von der neuen Formel das Integral bilden? Gut, das kriege ich wahrscheinlich hin, aber muss ich die Formel für den inneren Körper vom äußeren abziehen oder umgekehrt?

Woher stammt die Gleichung (davon ab bezweifle
ich, daß beide Körper mit dem gleichen Satz Konstanten
arbeiten,

Nee, die Konstanten für die beiden Körper sind unterschiedlich. Nur die Formeln sind gleich.

denn dann lieferten sie ja immer gleiche Energien,
was laut Voraussetzung nicht sein kann).

Ein paar weitere Informationen wären also nicht schlecht.

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, welche „sachdienlichen“ Informationen ich noch geben kann

Gruß

Kubi

[Anonym_dccfd98ba8f6]

Moin,

Zudsem wird nicht so recht klar, ob Deine Gleichungen die
Energie zum Zeitpunkt t darstellen sollen

ja, aber eben nur unter der Bedingung, dass keine weitere
Energie hinzugefügt wird.

Das heißt, die im Intervall dt abgegebene Energie des inneren Körpers wäre dE_i(t)/dt.

Also nochmal: Differenz der beiden Gleichung bilden, und von
der neuen Formel das Integral bilden? Gut, das kriege ich
wahrscheinlich hin, aber muss ich die Formel für den inneren
Körper vom äußeren abziehen oder umgekehrt?

Die Energie, die der äußere Körper im Intervall dt abgibt, ist entsprechend dE_ä(t)/dt. Die gesamte Energieänderung ist also dE/dt = dE_i/dt-dE_ä/dt. Die Energie zum Zeitpunkt t bekommst Du dann als Anfangsenergie plus dem Integral dieser Änderungen von Zeitpunkt 0 bis t.

Nee, die Konstanten für die beiden Körper sind
unterschiedlich. Nur die Formeln sind gleich.

denn dann lieferten sie ja immer gleiche Energien,
was laut Voraussetzung nicht sein kann).

Dann empfiehlt es sich, die Konstanten auch unterschiedlich zu benennen, sonst neigt man dazu, Sachen zusammenzufassen oder zu vereinfachen, bei denen das nicht geht

Gruß

Kubi

(Tippfehler in den html-tags korrigiert)

[boosianer]

Moin,

Auch so!

Zudsem wird nicht so recht klar, ob Deine Gleichungen die
Energie zum Zeitpunkt t darstellen sollen

ja, aber eben nur unter der Bedingung, dass keine weitere
Energie hinzugefügt wird.

Das heißt, die im Intervall dt abgegebene Energie des inneren
Körpers wäre dE_i(t)/dt.

Also nochmal: Differenz der beiden Gleichung bilden, und von
der neuen Formel das Integral bilden? Gut, das kriege ich
wahrscheinlich hin, aber muss ich die Formel für den inneren
Körper vom äußeren abziehen oder umgekehrt?

Die Energie, die der äußere Körper im Intervall dt abgibt, ist
entsprechend dE_ä(t)/dt. Die gesamte Energieänderung
ist also dE/dt = dE_i/dt-dE_ä/dt. Die
Energie zum Zeitpunkt t bekommst Du dann als Anfangsenergie
plus dem Integral dieser Änderungen von Zeitpunkt 0 bis t.

Hm. Verstehe ich nicht…

So ähnlich hat mein erster Lösungsansatz auch ausgesehen, aber das kann nicht stimmen:
Wenn in einem Integral eine Summe steht, kann ich das (wenn ich mich recht erinnere) als zwei getrennte Integrale betrachten. Dann wäre die Lösung also
E(t)=Integral(dE_i/dt) - Integral(dE_ä/dt)

Das Integral einer Ableitung ist wieder die Original-Funktion. Daraus ergibt sich als Lösung (für das unbestimmte Integral):
E(t)=E_i(t) - E_ä(t) + Anfangsenergie

Und das stimmt nicht. Das wäre nur richtig, wenn der innere Körper seine gesamte Energie zum Zeitpunkt t=0 an den äusseren Körper abgibt, und danach der äußere Körper nur noch Energie abgibt, aber keine mehr von innen aufnimmt.

Oder unterläuft mir da ein grundlegender Rechenfehler? Wie gesagt, meine mathematischen Werkzeuge sind ganz schön verrostet…

Gruß
Uwe

Nee, die Konstanten für die beiden Körper sind
unterschiedlich. Nur die Formeln sind gleich.

denn dann lieferten sie ja immer gleiche Energien,
was laut Voraussetzung nicht sein kann).

Dann empfiehlt es sich, die Konstanten auch unterschiedlich zu
benennen, sonst neigt man dazu, Sachen zusammenzufassen oder
zu vereinfachen, bei denen das nicht geht

Gruß

Kubi

(Tippfehler in den html-tags korrigiert)

[boosianer]

Ah, ich glaube, jetzt verstehe ich, warum ich da nicht richtig rein komme: Die Formeln sind in dieser Form nicht geeignet, um das Problem zu lösen.

Die Formeln zeigen den Energieverlauf in Abhängigkeit der Zeit, und zwar ausschliesslich in Abhängigkeit der Zeit. Im Prinzip ist das Quatsch, denn die Abkühlung hängt natürlich (wie Du schon am Anfang sagtest) von der Temperaturdifferenz ab.

Nun gut, die Formeln sind nunmal Näherungen. Für den inneren Körper ist das auch OK. Aber damit die Abkühlung des inneren Körpers bei der Energiebilanz des äusseren Körpers mit berücksichtigt werden kann, brauche ich eine Abkühlformel, die die Abhängigkeit von der Energie beinhaltet.

Bevor ich also das eigentliche Problem lösen kann, muß ich mir aus der bekannten Abkühlformel E(t) eine Abkühlfromel E(t, E₀) basteln.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Anonym_dccfd98ba8f6]

Hello again,

Ah, ich glaube, jetzt verstehe ich, warum ich da nicht richtig
rein komme: Die Formeln sind in dieser Form nicht geeignet, um
das Problem zu lösen.

Hab ich ja gleich seltsam gefunden.

Die Formeln zeigen den Energieverlauf in Abhängigkeit der
Zeit, und zwar ausschliesslich in Abhängigkeit der
Zeit. Im Prinzip ist das Quatsch, denn die Abkühlung hängt
natürlich (wie Du schon am Anfang sagtest) von der
Temperaturdifferenz ab.

Nicht ganz. Die Anfangsenergie der Körper ist in diesen Formeln ganz klar gegeben, und zwar als A-C. Wenn dem nicht so ist (z. B. bei deinem äußeren Körper, weil der innere nicht berücksichtigt wurde), ist die Formel auf den beschriebenen Fall nicht anwendbar.

Das habe ich dir zu verklickern versucht, aber offensichtlich nicht klar genug.

Gruß

Kubi