Hi Mathe Spezialisten!!
Ich stehe vor einem hirnzereisenden Problem. Und zwar soll ich bei meiner Klausurvorbereitung eine Ableitung von folgender Funktion bilden.
f(x)= 2/x exp[1-x^2] -> das „exp“ steht für Exponent und x^2 bedeutet „x hoch 2“
Das Ergebnis ist mir zwar bekannt, aber unbegreiflich. Nach zahlreichen Berechnungen komme ich nicht zum gleichen Ergebnis.
Hier auch noch das Ergebnis:
-2(2x+1/x^2)e^1-x^2
Hoffe die Schreibweise ist verständlich, besser hab ich es nicht hinbekommen.
Für einen nachvollziehbaren Lösungsweg wäre ich sehr dankbar…
Liebe Grüße PIT
Morgen Pit!
f(x)= 2/x exp[1-x^2] -> das „exp“ steht für Exponent und
x^2 bedeutet „x hoch 2“
Ich nehme mal an, der Ausdruck ist so gemeint:
- f(x)=(2/x)*e^(1-x^2)
oder so:
- f(x)=(2/x)^(1-x^2)
Probiern wir mal beides. Mit exp kann ich im ersten Fall nichts anfangen, deshalb nehme ich an, es handelt sich um die Zahl e.
Dann wollen wir mal.
- Man kann den Ausdruck als Produkt zweier Funktionen auffassen. Die erste Funktion ist 2/x (u), und die zweite Funktion ist e^(1-x^2) (v).
Nach der Produktregel folgt:
y´=u´(x)*v(x)+u(x)*v´(x)
du/dx=-(1/x^2)
Mit der Kettenregel folgt für v:
dv/dx=2x*e^(1-x^2)
Das ergibt nach der Produktregel:
f´(x)=-(1/x)*e^(1-x^2)+(2/x)*2x*e^(1-x^2)
=-(1/x)*e^(1-x^2)+4*e^(1-x^2)=e^(1-x^2)*(4-(1/x^2))
Oder der Ausdruck exp(1-x^2) soll den Exponenten von 2/x darstellen:
Dann ergibt sich mit der Kettenregel:
df/dx ((2/x)^(1-x^2))=2/x
Gruß
Michael
Hallöchen,
f(x)= 2/x exp[1-x^2] -> das „exp“ steht für Exponent und
x^2 bedeutet „x hoch 2“
Ich nehme mal an, der Ausdruck ist so gemeint:
- f(x)=(2/x)*e^(1-x^2)
oder so:
- f(x)=(2/x)^(1-x^2)
Probiern wir mal beides. Mit exp kann ich im ersten Fall
nichts anfangen, deshalb nehme ich an, es handelt sich um die
Zahl e.
exp(%) = e^% Nur eine andere Schreibweise.
Dann wollen wir mal.
- Man kann den Ausdruck als Produkt zweier Funktionen
auffassen. Die erste Funktion ist 2/x (u), und die zweite
Funktion ist e^(1-x^2) (v).
Nach der Produktregel folgt:
y´=u´(x)*v(x)+u(x)*v´(x)
du/dx=-(1/x^2)
muss heissen: -2/x^2
Mit der Kettenregel folgt für v:
dv/dx=2x*e^(1-x^2)
Hier gehört nun ein Minus rein:
-2x*exp(1-x^2)
Das ergibt nach der Produktregel:
f´(x)=-(1/x)*e^(1-x^2)+(2/x)*2x*e^(1-x^2)
=-(1/x)*e^(1-x^2)+4*e^(1-x^2)=e^(1-x^2)*(4-(1/x^2))
ensprechend ergibt sich das Ergebnis:
-exp(1-x^2)*(2/x^2 + 4)
Oder der Ausdruck exp(1-x^2) soll den Exponenten von 2/x
darstellen:
Dann ergibt sich mit der Kettenregel:
df/dx ((2/x)^(1-x^2))=2/x
Das geht dann doch ein bisschen zu schnell:
erst schreibt man es so:
(2*x)^(x^2-1)
dann bemüht man die e-Funktion und die ln Funktion:
[exp(ln(2*x))]^(x^2-1)
= exp[ln(2*x) * (x^2-1)]
die kann man dann relativ schön ableiten und bekommt:
(2*x)^(x^2-1) * x*(1 + 2*ln(2*x) - 1/x^2)
ciao
ralf
Hallo Ralf!
du/dx=-(1/x^2)
muss heissen: -2/x^2
War wohl etwas früh heute morgen. Ich habe das wohl im Zustand geistiger Umnachtung integriert, statt differenziert.
Peinlich, peinlich.
Hier gehört nun ein Minus rein:
-2x*exp(1-x^2)
Ebenfalls richtig, das habe ich wohl vergessen (wird immer peinlicher), den Schluß kommentiere ich besser nicht…
Ich hoffe, mir ist dieser geistige Fehltritt verziehen 
Gruß
Michael (unterdemsichgeradedieErdeauftut,underdarinversinkt)