Ableitung an einer Stelle berechnen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hab schon rumgegoogled etc. und komme einfach nicht drauf.

Hier die Aufgaben:

Zitat:
Berechne die Ableitung der Funktion f mit der Gleichung f(x)=-3x² an der stelle x0.

~> x0 = 5

Zitat:
Berechne f’(x0).

f(x) = x²; x0 = 3

Zitat:
f(x) = x² ; x0 = 4

Zitat:
Der Punkt P ist ein Punkt des Graphen von f. Bestimme die Gleichung der Tangente t im Punkt P. An welcher stelle schneidet die Tangente die x-Achse?

f:x -> -x²; P(2|f(2))

Ich bitte auch um Erläuterung der Vorgehensweise.

Lösungsansätze (d.h. in der Schule abgeschriebene ähnliche Aufgaben) hab ich, aber die helfen mir nicht wirklich weiter da ich kaum eine Logik hinter der Rechnung erkennen kann.

Danke im Voraus

#2

Weißt du denn überhaupt, wie man die Ableitung bildet?
Leitet ihr einfach ab oder macht ihrs noch über die h-Methode (gibt noch ne 2. aber die fällt mir grad nicht ein)

#3

Weißt du denn überhaupt, wie man die Ableitung bildet?
Leitet ihr einfach ab oder macht ihrs noch über die h-Methode
(gibt noch ne 2. aber die fällt mir grad nicht ein)

Ungefähr weiß ich es (war auch schon bei der Nachhilfe, was aber scheinbar nicht viel genützt hat) aber es klingelt bei mir einfach nicht…

Wir machen es mit der h-Methode (bezogen auf Aufg. 1)

#4

ich glaube was du wirklich wissen willst ist wie man eine ableitung berechnet?

wenn man eine Funktion ableitet bekommt man wieder eine funktion die von der selben variable abhängt.

hier sind ein paar nützliche regeln:
http://www.mathe-online.at/mathint/diff1/i_ableitung…
wenn dich interessiert warum das so ist, dann schau vielleicht mal in dein heft, oder frag deinen lehrer wenn er es nicht behandelt hat.

alles was man wissen muss sind meiner ansicht nach die regeln hinter obigem link und die Bedeutung des ganzen:

Die ableitung einer funktion gibt die steigung des funktionsgraphen an jeder stelle an. wie praktisch, wenn man zb eine tangente finden muss :wink:

#5

Hallo e-Rochen,

also Du musst die Ableitung f’(x) der Funktion f(x) berechnen und dann jeweils in der Gleichung x durch x0 ersetzen. Das ist bei Ableitungen immer das gleiche Vorgehen.

Durch eine Ableitung berechnest Du die Steigung der Funktion. Wenn Du den jeweiligen Punkt einsezt, dann bekommst Du die Steigung genau an diesem Punkt. Eine Steigung mit dem wert 1 beispielsweise sagt aus, dass der Graph an der Stelle in einem 45° Winkel nach oben geht. Nämlich eine Einheit in x und eine Einheit in y Richtung (1 kann man ja auch als Bruch 1/1 sehen). Lies das Kapitel einfach noch mal in Deinem Mathebuch durch. Dazu bräuchtest Du gar kein Google. Aber mit Hilfe von Google würdest Du auch jede Menge hilreiche Infos zu Ableitungen finden.

Prinzipiell ist die Regel für die Ableitung einer Funktion:
f(x) = a*x^b
f’(x)= a*b*x^(b-1)

^bedeutet dass das dahinter im Exponenten steht.

Aber es ist leichter, wenn Du Dir die Regeln noch mal in Deinem Buch durchliest.

Zur Aufgabe mit der Tangente. Tangente bedeutet in diesem Fall eine Gerade mit der gleichen Steigung wie der Graph selbst hat. Haben die beiden die gleiche Steigung, dann schneiden sich die beiden nicht, sondern berühren (tangieren) sich nur. Du heisst bei dieser Aufgabe also, dass Du wieder die Ableitung der Funktion bilden muss. Anschließend setzt Du den x-Wert des Punktes P in die Ableitung hinein. Damit hast Du die Steigung der Tangente.

Eine Tangentengleichung (eine Gerade) hat die Gleichung
y=m*x+b
m ist die Steigung, die hast Du im letzten Schritt ausgerechnet (ist hier -4). Außerdem weißt Du, dass Deine Tangente durch den Punkt P (2; -4) geht (das erhälst Du, wenn Du den x-Wert in Deine Funktionsgleichung f(x) einsetzt. Nun musst Du die Gleichung nur nach b auflösen und erhälst die gesamte Tangentengleichung.

Dort wo die Gerade die x-Achse schneidet, muss der y-Wert Null sein. Setze also in Deine Tangentengleichung den Wert y=0. m und b hattest Du ja bereits ausgerechnet. Wenn Du jetzt nach x auflöst, dann hast Du die Stelle, an der die Tangente die x-Achse schneidet.

So…ich weiß das war viel Text. Aber was ich damit sagen will: Du musst das ganze verstehen, um im Matheunterricht mithalten zu können. Es bringt nichts die Hausaufgaben aus einem Forum vorgesagt zu bekommen. Nimm Dein Mathebuch, lies Dir das Kapitel über Ableitungen durch und frag einen Schüler, der Mathe besser kann oder Deinen Lehrer alles, was Du selbst nicht verstanden hast!

Viel Erfolg.

Wenn Du eine konkrete Frage hast, dann erkär ich Dir gerne was. Ich werde Dir nur nicht einfach Deine Hausaufgaben lösen!

#6

Da würde ich Dir empfehlen, nicht rumzugoogeln, sondern lieber mal dein Mathebuch aufzuschlagen. Das ist nämlich eine Standard-Aufgabe, die schon zu Beginn der Differentialrechnung behandelt wird.
Also: Ableitung von x^n -> f’(x) = n*x^(n-1), also Ableitung von -3x^2: f’(x) = -3*2*x = -6x. x0 = 5, also 5 einsetzen: f*(5) = -6*5 = -30. Die anderen analog.
Gleichung der Tangente: Erstmal den y-Wert des Punktes ausrechnen, dazu 2 in f(x) einsetzen: y = -2^2 = -4. Dann die Steigung der Tangente ist der Wert der Ableitung bei x = 2: f’(x) = -2x, f’(2) = -4. Dann ansetzen: y = m*x + t, darein y = -4, x = 2, m = -4 einsetzen: -4 = -4*2 + t, nach t auflösen: t = 4
Gleichung der Tangente: y = -4x + 4
Schnittpunk mit x-Achse: -4x+4 = 0 -> x = 1

Ich empfehle Dir dringend, ins Mathebuch zu gucken und die Grundlagen zu lernen, bzw. zu wiederholen.

Viele Grüße und viel Erfolg!

#7

Hallo e-Rochen.
Also bei den ersten 3 Aufgaben machst du einfach die erste Ableitung von der Funktion. Dies ist die Steigung. Dann setzt du für x einfach dein x0 ein --> Fertig:

f(x)= -3x^2

  1. Ableitung (Steigung: f’(x)= -6x
    Jetzt für x 5 einsetzen. f’(5)=-6*5=-30

Bei der letzten Aufgabe
musst du erneut die Steigung ausrechnen also die 1. Ableitung:
f(x)=-x^2
f’(x)=-2x
Einsetzen x Wert des Punktes
f’(2)=-4
jetzt hast du die Steigung an diesem Punkt.Nun zur Tangentengleichung.
Allg. Tangentengleichung:

y=m*x+b

einsetzen der Steigung.
y=-4*2+b (2 ist x Wert von Punkt P)

dann stelle nach b um.
b=4
So deine Tangentengleichung lautet also
t: y=-4x+4
um nun zu wissen wann es die x Achse schneidet, musst du y=0 setzen, da die x-Achse ja nur bei y=0 geschnitten werden kann.

0=-4x+4

nach x umstellen

x=1

Die Tangente schneidet also die x Achse im Punkt (1|0)

Hoffe ich konnte dir helfen.

Grüße

#8

Hier die Aufgaben:

Zitat:
Berechne die Ableitung der Funktion f mit der Gleichung f(x)=-3x² an der stelle x0.

~> x0 = 5

Zitat:
Berechne f’(x0) = -6x (ableitung)
x0=5: f’(5) = -30 .

Zitat:
f(x) = x²; x0 = 3
f’(x)= 2x; x0 =3 ; f’(3)=6

Zitat:

f(x) = x² ; x0 = 4
f’(x)= 2x; x0 =4 ; f’(4)=8

Zitat:
Der Punkt P ist ein Punkt des Graphen von f. Bestimme die Gleichung der Tangente t im Punkt P. An welcher stelle schneidet die Tangente die x-Achse?

f:x -> -x²; P(2|f(2))
diese Darstellung kenn ich nicht?

Gleichung der Tangente von f(x)=-x² ist
f’(x) = -2x
Punkt P(2/f(2)) hat Koordinaten x=2 und y=-4 also P(2/-4).

Die Tangente schneidet im Punkt (0/0) die x-Achse.

Hallo,

entschuldige die Verspätung,
ich hoffe Dir hilfts weiter.

Gruß

jeanveaux