Hey,
ich soll die Ableitung dy/dx der implizieten Funktion x*ln(x)+y*ln(y)=0 berechnen. Ic weiß nichtmal so recht was impliziert bedeutet? Kann mir vllt jemand einen Tipp geben?
LG
Hossa 
ich soll die Ableitung dy/dx der implizieten Funktion
x*ln(x)+y*ln(y)=0 berechnen. Ich weiß nichtmal so recht was
impliziert bedeutet? Kann mir vllt jemand einen Tipp geben?
Du hast da einen Funktionsterm der Form f(x,y)=0 gegeben. Nehmen wir an, dass es mindestens eine Funktion y=y(x) gibt, die diese Gleichung erfüllt, dann ist y=y(x) implizit definiert. [Manchmal wird gefordert, dass es genau eine solche Funktion y=y(x) geben muss.]
Um y(x) zu erhalten, bildest du am besten das Differential von f:
df=\frac{\partial f}{\partial x},dx+\frac{\partial f}{\partial y},dy=0
Da die Funktion f(x,y) überall gleich 0 ist, muss auch das Differential von f überall gleich 0 sein. Diese Gleichung kannst du nach dy/dx umstellen:
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y},\frac{dy}{dx}=0
\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}
Das war’s. Jetzt musst du einfach nur die partiellen Ableitungen ausrechnen und bist fertig:
f(x,y)=x\ln x+y\ln y \quad\Longrightarrow\quad\frac{\partial f}{\partial x}=\ln x+1\quad;\quad\frac{\partial f}{\partial y}=\ln y+1
Also lautet die gesuchte Ableitung:
y^\prime(x)=-\frac{\ln x+1}{\ln y+1}
Wenn du die implizit definierte Funktion y(x) berechnen möchtest, musst du diese Differentialgleichung lösen. Aber nach y(x) war ja nicht gefragt
Viele Grüße
Hasenfuß
df=\frac{\partial f}{\partial x},dx+\frac{\partial
f}{\partial y},dy=0Da die Funktion f(x,y) überall gleich 0 ist, muss auch das
Differential von f überall gleich 0 sein. Diese Gleichung
kannst du nach dy/dx umstellen:\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial
y},\frac{dy}{dx}=0
Lass mich raten Hasenfuß, du bist Physiker?
Jedem Mathematiker stehen die Haare zu Berge, wenn die Physiker munter mit Operatoren kürzen, erweitern, dividieren und sonst was für Kunststückchen machen. Naja, solange am Ende das richtige raus kommt…
@Manu
Es geht auch auf die elegante Art und Weise.
f(x,y(x))\equiv 0\Rightarrow \frac{d}{dx}f(x,y(x))\equiv 0\Rightarrow\frac{\partial}{\partial x}f(x,y(x))+\frac{\partial}{\partial y}f(x,y(x))\frac{d}{dx}y(x)\equiv 0
Falls sich die Ableitung nach y invertieren lässt, kannst du auflösen
\frac{d}{dx}y(x)=-\left(\frac{\partial}{\partial y}f(x,y(x))\right)^{-1}\frac{\partial}{\partial x}f(x,y(x))
Das entspricht dem Vorgehen beim Satz über implizite Funktionen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten…
Grüße!
hendrik
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Hossa Hendrik
Ich möchte meine Antwort mit einem Zitat eines berühmten Physikers beginnen:
„Seitdem die Mathematiker über die Allgemeine Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.“ - Albert Einstein
Lass mich raten Hasenfuß, du bist Physiker?
Ja bin ich. Das merkt man doch an dieser äußerst effizienten Art zu rechnen, oder?!
Jedem Mathematiker stehen die Haare zu Berge, wenn die
Physiker munter mit Operatoren kürzen, erweitern, dividieren
und sonst was für Kunststückchen machen.
Als Physiker rechnet man mehr und als Mathematiker beweist man mehr. Diese unterschiedlichen Schwerpunkte führen offenbar zu einem anderen Umgang mit der Mathematik. Diesen „Kunststückchen“ liegen natürlich strenge mathematische Regeln zu Grunde. Im obigen Fall ist es die Kettenregel. Wir hatten dort eine Funktion f(x,y(x)) gegeben. Wenn ich das totale Differential hinschreibe:
df=\frac{\partial f}{\partial x},dx+\frac{\partial f}{\partial y},dy=0
Und dann durch dx „dividiere“ [Jetzt stellen sich deine Haare wieder auf], steht da die Kettenregel:
\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x},\frac{dx}{dx}+\frac{\partial f}{\partial y},\frac{dy}{dx}=0
Wenn ich noch berücksichtige, dass die Ableitung von x nach x gleich 1 ist, also (dx/dx=1) „rauskürze“ [Jetzt gehen auch die Nackenhaare hoch?] und hinten für dy/dx einfach y’(x) einsetze, folgt genau das, was ich zuvor geschrieben habe:
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y^\prime(x)=0
Das kann man nach y’(x) umstellen und ist fertig.
@Manu
Es geht auch auf die elegante Art und Weise.f(x,y(x))\equiv 0\Rightarrow \frac{d}{dx}f(x,y(x))\equiv
0\Rightarrow\frac{\partial}{\partial
x}f(x,y(x))+\frac{\partial}{\partial
y}f(x,y(x))\frac{d}{dx}y(x)\equiv 0Falls sich die Ableitung nach y invertieren lässt, kannst du
auflösen\frac{d}{dx}y(x)=-\left(\frac{\partial}{\partial
y}f(x,y(x))\right)^{-1}\frac{\partial}{\partial x}f(x,y(x))Das entspricht dem Vorgehen beim Satz über implizite
Funktionen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten…
Siehst du, das meine ich. Du beschreibst genau das gleiche wie ich, halt nur auf mathematische Art. Und noch etwas fällt auf, dass den Unterschied zwischen Physikern und Mathematikern verdeutlicht. Am Ende meines Postings stand ein fertiges, auf die Aufgabe bezogenes Endergebnis. Am Ende deines Postings steht die Regel, die man anwenden muss, ohne Endergebnis… Mathematiker halt
Viele Grüße
Hasenfuß
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Und noch etwas fällt auf,
dass den Unterschied zwischen Physikern und Mathematikern
verdeutlicht. Am Ende meines Postings stand ein fertiges, auf
die Aufgabe bezogenes Endergebnis. Am Ende deines Postings
steht die Regel, die man anwenden muss, ohne Endergebnis…
Mathematiker halt
Wie gesagt, dein Ergebnis stimmte ja, deshalb fand ich es unnötig, das nochmal hinzuschreiben.
Schönes Wochenende!
hendrik