Hallo,
ich verstehe nicht wie man eine Ableitung bildet. Ich kann evtl. ein Muster erkennen und dann nach gespeicherten Beispielen die Ableitung bilden, aber das „warum“ fehlt mir.
Hier die Aufgabe:
Bergbau: Goldabbau
X = 2 * Wurzel r
X = OZ (Gold in Unzen - ca. 32g)
Preis pro Unze Gold : 400€
Stundenlohn: 20€
Fixkosten: 2000€
Umsatzfunktion: U= P * X
U= 400€/OZ * 2 * Wurzel r
U= 800 * Wurzel r
Kostenfunktion: K= 2000€ + 20€ * r
Gewinnfunktion: G= U – K
G= 800 * Wurzel r – (2000 + 20 * r)
G= 800 * Wurzel r -2000 -20 * r
G= 800 * r hoch ½ - 2000 -20 * r
- Ableitung bilden:
G’ = 800 * ½ * r „hoch ½ -1“ -20
Was ich nicht verstehe:
a: warum schiebe ich das 1/2 noch hinter die 800
b: warum verschwinden die -2000 und „r“ ? würde ich das als -2000 „hoch 1 -1“ ansehen, dannn hätte ich doch immer noch ein -1 an Stelle der -2000 oder nicht?
Grüße
Christian
Guten Tag.
G = 800 * r hoch ½ - 2000 -20 * r
G’ = 800 * ½ * r „hoch ½ -1“ -20
a: warum schiebe ich das 1/2 noch hinter die 800
f(x) = a*xn +b => f’(x) = n*a*xn-1
f(x) = x½ => f’(x) = ½*x-½
b: warum verschwinden die -2000 und „r“?
Das +b oben verschwindet auch. Einfaches Beispiel ist eine Gerade f(x)=m*x+n mit m=0, also x=n. Das gibt eine Parallele zur x-Achse (eine Gerade mit Steigung 0). Und die erste Ableitung gibt ja gerade die Steigung wieder: f(x)=n => f’(x)=0
GEK
Hallo Christian,
G= 800 * r hoch ½ - 2000 -20 * r
- Ableitung bilden:
G’ = 800 * ½ * r „hoch ½ -1“ -20
a: warum schiebe ich das 1/2 noch hinter die 800
Je nachdem, wie Deine Frage gemeint ist, drei mögliche Antworten:
I) Du kannst das 1/2 auch gerne vor die 800 multiplizieren, das spielt für das Produkt keine Rolle, insgesamt kommt so oder so 400*Wurzel® raus.
II) Du kannst die Ableitungsregel (rn)’=n*rn-1, die bereits GEK gegeben hat, entweder auswendig lernen oder auch herleiten, was allerdings im Falle der Wurzelfunktion etwas aufwendig ist und einige Grundkenntnisse in Analysis erfordert. Wenn Du möchtest, schreib ich es Dir natürlich gerne auf.
III) Wenn Du vor der Funktion noch einen Faktor hast, dann bleibt der einfach stehen. Das liegt daran, dass die Ableitung ja definiert ist als
f’® = limh->0 [f(r+h)-f®]/h, also
[c*f®]’ = lim [c*f(r+h)-c*f®]/h = lim c*[f(r+h)-f®]/h = c*lim [f(r+h) - f®] = c*f’®.
Die 800 vor dem 1/2*r-1/2 bleibt einfach stehen.
b: warum verschwinden die -2000 und „r“ ? würde ich das als
-2000 „hoch 1 -1“ ansehen, dannn hätte ich doch immer noch ein
-1 an Stelle der -2000 oder nicht?
Erst einmal zum verschwindenden r, einmal als Differentialquotient:
(-20*r)’ = lim [-20*(r+h)-(-20*r)]/h = lim [-20*h]/h = -20;
und einmal nach Ableitungsregel:
(-20*r)’ = -20*®’ = -20*(r¹)’ = -20*(1*r1-1) = -20*r⁰ = -20*1 = -20.
Nun zur verschwindenden -2000, einmal als Differentialquotient:
(-2000)’ = lim [-2000 - (-2000)]/h = lim 0/h = 0;
und einmal nach Ableitungsregel:
(-2000)’ = (-2000*r⁰)’ = -2000*(r⁰)’ = -2000*(0*r-1)=0.
Du kannst die -2000 auch gern als 2000¹ ansehen, aber Du leitest ja nach r ab und nicht nach irgendeiner Zahl, also geht (2000¹)’=1*2000⁰ nicht.
Denk doch mal über das Beispiel nach: x²*y³ nach x abgeleitet ergibt 2x*y³ (denn y³ ist der Faktor, der einfach stehen bleibt); nach y abgeleitet ist x² der Faktor, der stehen bleibt, und Du bekommst 3*x²*y².
Liebe Grüße,
Immo
Hallo Immo (oder Vokietis),
ich glaube ich muß mir diese Ableitungen nochmal intensiv zu gemüte führen, aber deine Erklärung, warum die -2000 verschwinden ist schonmal recht logisch. Danke dir !
Mathe war leider immer schon mein wunder Punkt, wenn man an einer Stelle ein Loch hat, dann ist es schwer das folgende zu begreifen…
Grüße
Christian
Hallo GEK,
wenn ich deine Erklärung lese, dann erke ich erst wie viel ich nicht weiß 
Aber Danke auch dir !
Grüße
Chris