Hallo zusammen,
ich versuche zur Zeit, mit Differenzenquotienten u. Differentialquotient einige Ableitungen zu beweisen.
Aber die für e^x bekome ich nicht hin.
lim h–>0 [(e^(h+x) - e^x) / h]
man kann jetzt e^x ausklammern:
= lim h–>0 [( e^x ( e^h - 1) ) / h]
Aber wenn man jetzt den L’Hospital anwendet, würde man ja das benutzen, was man gerade beweisen will.
Was tun?
Es ist keine Hausaufabenfrage (bin ü50), sondern Denksport für mich.
Gruß JK
moin;
eine ähnliche Frage hatte ich auch schon ein Mal hier gestellt, Titel: Ableitung von a^x.
Die Regel von l’Hospital könntest du anwenden, allerdings kämest du (bei anderer Klammersetzung…) immer auf den Ausdruck 0/0. Im anderen Fall benötigst du bereits die Ableitung von e^x, die du ja suchst.
Also:
f’(x)=\lim_{h\to 0}e^x\left(\frac{e^h-1}{h}\right)
Suchen also, da e^x im Grenzübergang konstant ist:
y=\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}
y=\frac{e^h-1}{h}e^h=1+hye=\sqrt[h]{1+hy}
substituieren: r=1/h
e=\lim_{r\to \infty}\left(1+\frac{y}{r}\right)^r=e^y \ \ (=> Definition\ der\ e-Funktion)
y=ln(e)=1
kommen wir also für die gesamte Ableitung auf e^x*1, oder eben e^x.
mfG
P.S.: Ja, auch ich bin lernfähig 
moin;
eine ähnliche Frage hatte ich auch schon ein Mal hier
gestellt, Titel: Ableitung von a^x.Die Regel von l’Hospital könntest du anwenden, allerdings
kämest du (bei anderer Klammersetzung…) immer auf den
Ausdruck 0/0.
Im anderen Fall benötigst du bereits die Ableitung von e^x, die du ja suchst.
Genau das kam mir ja verdächtig vor.
Also:
f’(x)=\lim_{h\to
0}e^x\left(\frac{e^h-1}{h}\right)Suchen also, da e^x im Grenzübergang konstant ist:
y=\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}
so weit verstehe ich es.
y=\frac{e^h-1}{h}
ups, wo ist denn das lim plötzlich hin?
Das ging mir jetzt alles etwas zu schnell.
moin;
ich habe den limes weggelassen, da so die Umformung leichter nachvollziehbar ist 
mfG